Aproxime o valor da integral definida abaixo usando a Regra dos Trapézios com n=4 subintervalos.
\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{2}\sqrt{1+x^{3}}\,dx
usando a Regra dos Trapézios com n=4. O método consiste em dividir [0,2] em n subintervalos de largura
h=\frac{b-a}{n},
avaliar a função nos nós e aplicar
T_{n}=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\Bigr).

Passo 2

Como a=0, b=2 e n=4, temos
h=\frac{2-0}{4}=0,5
e os nós são
x_{i}=0+ i\cdot0,5,\quad i=0,1,2,3,4,
isto é, x_{0}=0, x_{1}=0,5, x_{2}=1, x_{3}=1,5, x_{4}=2.

Passo 3

Calculamos f(x_{i})=\sqrt{1+x_{i}^{3}} em cada nó: f(0)=\sqrt{1+0}=1, f(0,5)=\sqrt{1+0,5^{3}}=\sqrt{1,125}\approx1,06066, f(1)=\sqrt{2}\approx1,41421, f(1,5)=\sqrt{1+1,5^{3}}=\sqrt{4,375}\approx2,09165, f(2)=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Aplicando a fórmula dos trapézios:
T_{4}=\frac{0,5}{2}\Bigl(f(0)+2\bigl[f(0,5)+f(1)+f(1,5)\bigr]+f(2)\Bigr).
Substituindo os valores:
T_{4}=0,25\Bigl(1+2\,(1,06066+1,41421+2,09165)+3\Bigr) =0,25\,(1+2\cdot4,56652+3) =0,25\cdot13,13304 \approx3,28326.

Resposta

A aproximação da integral é aproximadamente 3,2833.

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