Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Encontre e classifique os pontos de máximo e mínimo locais.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os intervalos em que a função
é crescente ou decrescente, além de achar e classificar seus pontos de máximo e mínimo locais. O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial: derivada para estudar monotonicidade e pontos críticos.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
. Aplicando a regra de potência temos
Para facilitar o estudo de sinal, fatoramos:
Passo 3
Os pontos críticos são as soluções de
. Da fatoração
vem
Passo 4
Para saber onde
é positivo ou negativo, analisamos os sinais dos fatores em cada intervalo:
- Se
, então e , logo . A função cresce em . - Se
, então mas , logo . A função decresce em . - Se
, então e , logo . A função cresce em .
Passo 5
Como
muda de positivo para negativo em
, temos um ponto de máximo local em
. O valor é
Como
muda de negativo para positivo em
, temos um ponto de mínimo local em
. O valor é
Resposta
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Máximo local em , com valor
Mínimo local em , com valor
Intervalo de decrescimento:
Máximo local em
Mínimo local em