Considere a curva definida pela equação x^{2}+y^{2}=25. Encontre \frac{d y}{d x} e \frac{d^{2} y}{d x^{2}} em termos de x e y.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2}+y^{2}=25
e pede a primeira e a segunda derivadas de y em relação a x. O método é o de diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da equação em função de x, lembrando que y depende de x.

Passo 2

Derivando x^{2}+y^{2}=25 em relação a x obtemos
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}, vem
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.

Passo 3

Para achar a segunda derivada, diferencio de novo a relação 2x + 2y\,y'=0. Em que escrevo y'=\frac{dy}{dx} e y''=\frac{d^2y}{dx^2}. Derivando:
\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(2y\,y'\bigr) = 0
2 + 2\bigl(y'\bigr)^{2} + 2y\,y'' = 0.

Passo 4

Isolando y'' na equação
2 + 2\bigl(y'\bigr)^{2} + 2y\,y'' = 0
temos
y'' = -\frac{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}}{y}.
Substituindo y' = -\frac{x}{y}
y'' = -\frac{1 + \bigl(-\frac{x}{y}\bigr)^{2}}{y} = -\frac{1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}}{y} = -\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}

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