Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função g(x)=x^{3}-6 x^{2}+5. Encontre e classifique os pontos de máximo e mínimo locais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos em que a função
g(x)=x^{3}-6x^{2}+5
é crescente ou decrescente, além de achar e classificar seus pontos de máximo e mínimo locais. O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial: derivada para estudar monotonicidade e pontos críticos.

Passo 2

Vamos calcular a derivada g'(x). Aplicando a regra de potência temos
g'(x)=3x^{2}-12x.
Para facilitar o estudo de sinal, fatoramos:
g'(x)=3x(x-4).

Passo 3

Os pontos críticos são as soluções de g'(x)=0. Da fatoração
3x(x-4)=0
vem
x=0 \quad\text{e}\quad x=4.

Passo 4

Para saber onde g'(x) é positivo ou negativo, analisamos os sinais dos fatores em cada intervalo:
  • Se x<0, então x<0 e x-4<0, logo 3x(x-4)>0. A função cresce em (-\infty,0).
  • Se 0<x<4, então x>0 mas x-4<0, logo 3x(x-4)<0. A função decresce em (0,4).
  • Se x>4, então x>0 e x-4>0, logo 3x(x-4)>0. A função cresce em (4,\infty).

Passo 5

Como g' muda de positivo para negativo em x=0, temos um ponto de máximo local em x=0. O valor é
g(0)=0^{3}-6\cdot0^{2}+5=5.
Como g' muda de negativo para positivo em x=4, temos um ponto de mínimo local em x=4. O valor é
g(4)=4^{3}-6\cdot4^{2}+5=64-96+5=-27.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-\infty,0)\cup(4,\infty)
Intervalo de decrescimento: (0,4)
Máximo local em x=0, com valor g(0)=5
Mínimo local em x=4, com valor g(4)=-27

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