Um aquário sem tampa deve ter volume igual a 32 m^{3}. A base será feita de um material cujo custo por unidade de área é igual a cinco vezes o custo do vidro usado nas faces laterais. Determine as dimensões do aquário que minimizam o custo total do material empregado em sua construção.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • O aquário é sem tampa (ou seja, não há face superior).
  • O volume deve ser 32\\ \mathrm{m}^3.
  • O custo por unidade de área da base é igual a 5 vezes o custo por unidade de área do vidro das faces laterais.
  • É preciso determinar as dimensões (comprimento, largura e altura) do aquário que minimizam o custo total do material empregado na construção.
Informações relevantes extraídas:
  • Volume desejado: \;32\\ \mathrm{m}^3.
  • Razão dos custos por área: custo da base = 5 vezes custo de cada face lateral por unidade de área.
  • O aquário tem quatro faces laterais (retângulos) e uma base (retângulo). Não há tampa.

Passo 2

Definir variáveis e escrever a restrição de volume.
  • Seja \;x\; o comprimento da base (em metros), \;y\; a largura da base (em metros) e \;h\; a altura (em metros). Todas as variáveis são positivas: \;x>0,\;y>0,\;h>0.
  • A condição do volume é:
x y h = 32.
  • Introduzir c como o custo por unidade de área do vidro das faces laterais (uma constante positiva). Então o custo por unidade de área da base é 5c.
Agora vamos escrever o custo total em função de x,y,h.
  • Área da base: \;xy. Custo da base: \;5c\cdot xy.
  • Áreas das faces laterais: duas faces têm área x h (frente e trás) e duas têm área y h (laterais). A área total das faces laterais é \;2xh+2yh=2h(x+y). Custo das faces laterais: c\cdot 2h(x+y).
  • Então o custo total C é
C = 5c\cdot xy + c\cdot 2h(x+y).
Fatorando c (constante positiva que só escala o custo), a função a minimizar em termos geométricos é, up to multiplicative constant,
F(x,y,h)=5xy + 2h(x+y).
Podemos minimizar F e depois multiplicar por c se preciso; a posição do mínimo não depende de c.

Passo 3

Usar a restrição de volume para eliminar \;h\; e obter uma função de duas variáveis x e y só.
Da restrição \;x y h = 32 segue
h=\frac{32}{x y}.
Substituindo em F:
F(x,y)=5xy + 2\cdot\frac{32}{xy}\,(x+y).
Fazer as simplificações com cuidado:
2\cdot\frac{32}{xy}\,(x+y)=\frac{64(x+y)}{xy}=64\left(\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}\right)=64\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right).
Portanto a função a minimizar é
F(x,y)=5xy + 64\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right), \qquad x>0,\;y>0.
Comentário didático rápido sobre essa forma: o primeiro termo cresce quando as dimensões da base crescem (aumenta área da base), já os termos \frac{1}{x} e \frac{1}{y} vêm da altura necessária para manter o volume fixo — se x aumenta, a altura diminui, reduzindo área lateral, por isso aparece 1/x.

Passo 4

Calcular as condições de extremo usando derivadas parciais. Explicar derivadas parciais brevemente:
  • Derivada parcial de F em relação a x trata y como constante, e vice-versa.
  • Para funções do tipo x^{-1} vale \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}.
Calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}:
  • Diferenciando term a termo,
\frac{\partial F}{\partial x}=5y + 64\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=5y - \frac{64}{x^2}.
\frac{\partial F}{\partial y}=5x + 64\cdot\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{y}\right)=5x - \frac{64}{y^2}.
No ponto de mínimo interno procuramos soluções de \displaystyle \nabla F=(0,0), ou seja,
5y - \frac{64}{x^2}=0, \qquad 5x - \frac{64}{y^2}=0.

Passo 5

Resolver o sistema de equações para x e y.
Da primeira equação:
5y=\frac{64}{x^2}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{64}{5x^2}.
Substituir essa expressão na segunda equação. Primeiro calcular y^2:
y^2=\frac{64^2}{25 x^4}.
Agora a segunda equação:
5x - \frac{64}{y^2}=0 \quad\Rightarrow\quad 5x = \frac{64}{y^2}.
Substituindo y^2:
5x = \frac{64}{\dfrac{64^2}{25 x^4}} = 64\cdot\frac{25 x^4}{64^2} = \frac{25 x^4}{64}.
Multiplicando ambos os lados por 64:
320 x = 25 x^4.
Dividir por x (não consideramos x=0):
320 = 25 x^3 \quad\Rightarrow\quad x^3=\frac{320}{25}=\frac{64}{5}.
Logo
x=\sqrt[3]{\frac{64}{5}}=\frac{4}{\sqrt[3]{5}}.
Pela simetria das equações (trocar x e y troca as equações), segue que y tem o mesmo valor:
y=\frac{4}{\sqrt[3]{5}}.
Comentário: aqui a simetria física faz sentido — como a base não tem preferência entre comprimento e largura, a solução mínima tem x=y.

Passo 6

Calcular a altura h usando a restrição de volume.
Usar x y h=32. Como x=y temos x^2 h =32, então
h=\frac{32}{x^2}.
Substituir x=\dfrac{4}{\sqrt[3]{5}}. Primeiro calcular x^2:
x^2=\frac{16}{\sqrt[3]{5^2}}=\frac{16}{5^{2/3}}.
Assim
h=\frac{32}{\dfrac{16}{5^{2/3}}}=2\cdot 5^{2/3}.
Podemos também reescrever h usando potências negativas/positivas:
h=2\cdot 5^{2/3}.
Verificação rápida do volume:
x^2 h = \left(\frac{16}{5^{2/3}}\right)\cdot \left(2\cdot 5^{2/3}\right)=32,
como exigido.

Passo 7

Verificar que o ponto crítico é mínimo (teste do Hessiano).
Calcular segundas derivadas:
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{128}{x^3},\qquad \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\frac{128}{y^3},\qquad \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=5.
No ponto crítico temos x=y=\dfrac{4}{\sqrt[3]{5}}. Para testar se é mínimo, calcular o determinante do Hessiano:
D=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}\right)^2.
Como x^3=y^3=\dfrac{64}{5}, segue
\frac{128}{x^3}=\frac{128}{64/5}=128\cdot\frac{5}{64}=10,
logo \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=10. Assim
D=10\cdot 10 - 5^2 =100-25=75>0.
Além disso \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2}=10>0. Portanto o Hessiano é definido positivo no ponto crítico e a função tem mínimo local ali. Como F tende a +\infty quando x ou y tendem a 0 ou +\infty, este mínimo é global no domínio x>0,y>0.

Passo 8

Apresentar as dimensões em forma exata e numérica (aproximação com duas casas decimais).
  • Comprimento: \displaystyle x=\frac{4}{\sqrt[3]{5}}\\ \mathrm{m}\approx 2,34\\ \mathrm{m}.
  • Largura: \displaystyle y=\frac{4}{\sqrt[3]{5}}\\ \mathrm{m}\approx 2,34\\ \mathrm{m}.
  • Altura: \displaystyle h=2\cdot 5^{2/3}\\ \mathrm{m}\approx 5,85\\ \mathrm{m}.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas a ideia é sempre a mesma em problemas desse tipo — definir variáveis, usar a restrição para eliminar uma variável, montar a função custo e procurar extremos com derivadas. Mandando ver que você consegue!

Resposta

\displaystyle x=y=\frac{4}{\sqrt[3]{5}}\\ \mathrm{m}\approx 2,34\\ \mathrm{m}
\displaystyle h=2\cdot 5^{2/3}\\ \mathrm{m}\approx 5,85\\ \mathrm{m}

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