Um aquário sem tampa deve ter volume igual a
. A base será feita de um material cujo custo por unidade de área é igual a cinco vezes o custo do vidro usado nas faces laterais. Determine as dimensões do aquário que minimizam o custo total do material empregado em sua construção.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- O aquário é sem tampa (ou seja, não há face superior).
- O volume deve ser
. - O custo por unidade de área da base é igual a
vezes o custo por unidade de área do vidro das faces laterais. - É preciso determinar as dimensões (comprimento, largura e altura) do aquário que minimizam o custo total do material empregado na construção.
Informações relevantes extraídas:
- Volume desejado:
- Razão dos custos por área: custo da base =
vezes custo de cada face lateral por unidade de área. - O aquário tem quatro faces laterais (retângulos) e uma base (retângulo). Não há tampa.
Passo 2
Definir variáveis e escrever a restrição de volume.
-
Seja
o comprimento da base (em metros), a largura da base (em metros) e a altura (em metros). Todas as variáveis são positivas: -
A condição do volume é:
- Introduzir
como o custo por unidade de área do vidro das faces laterais (uma constante positiva). Então o custo por unidade de área da base é .
Agora vamos escrever o custo total em função de
.
-
Área da base:
. Custo da base: -
Áreas das faces laterais: duas faces têm área
(frente e trás) e duas têm área (laterais). A área total das faces laterais é Custo das faces laterais: -
Então o custo total
é
Fatorando
(constante positiva que só escala o custo), a função a minimizar em termos geométricos é, up to multiplicative constant,
Podemos minimizar
e depois multiplicar por
se preciso; a posição do mínimo não depende de
.
Passo 3
Usar a restrição de volume para eliminar
e obter uma função de duas variáveis
e
só.
Da restrição
segue
Substituindo em
:
Fazer as simplificações com cuidado:
Portanto a função a minimizar é
Comentário didático rápido sobre essa forma: o primeiro termo cresce quando as dimensões da base crescem (aumenta área da base), já os termos
e
vêm da altura necessária para manter o volume fixo — se
aumenta, a altura diminui, reduzindo área lateral, por isso aparece
.
Passo 4
Calcular as condições de extremo usando derivadas parciais. Explicar derivadas parciais brevemente:
- Derivada parcial de
em relação a trata como constante, e vice-versa. - Para funções do tipo
vale .
Calcular
e
:
- Diferenciando term a termo,
No ponto de mínimo interno procuramos soluções de
, ou seja,
Passo 5
Resolver o sistema de equações para
e
.
Da primeira equação:
Substituir essa expressão na segunda equação. Primeiro calcular
:
Agora a segunda equação:
Substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividir por
(não consideramos
):
Logo
Pela simetria das equações (trocar
e
troca as equações), segue que
tem o mesmo valor:
Comentário: aqui a simetria física faz sentido — como a base não tem preferência entre comprimento e largura, a solução mínima tem
.
Passo 6
Calcular a altura
usando a restrição de volume.
Usar
. Como
temos
, então
Substituir
. Primeiro calcular
:
Assim
Podemos também reescrever
usando potências negativas/positivas:
Verificação rápida do volume:
como exigido.
Passo 7
Verificar que o ponto crítico é mínimo (teste do Hessiano).
Calcular segundas derivadas:
No ponto crítico temos
. Para testar se é mínimo, calcular o determinante do Hessiano:
Como
, segue
logo
. Assim
Além disso
. Portanto o Hessiano é definido positivo no ponto crítico e a função tem mínimo local ali. Como
tende a
quando
ou
tendem a
ou
, este mínimo é global no domínio
.
Passo 8
Apresentar as dimensões em forma exata e numérica (aproximação com duas casas decimais).
- Comprimento:
- Largura:
- Altura:
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas a ideia é sempre a mesma em problemas desse tipo — definir variáveis, usar a restrição para eliminar uma variável, montar a função custo e procurar extremos com derivadas. Mandando ver que você consegue!