f(x)= \begin{cases}2 x+3 & \text { se } x<1 \\\\ 4 & \text { se } x=1 \\\ x^{2}+2 & \text { se } 1<x\end{cases}
(a) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x); (b) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x); (c) \lim _{x \rightarrow 1} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}2x+3 & \text{se } x<1,\\[4pt] 4 & \text{se } x=1,\\[4pt] x^{2}+2 & \text{se } x>1.\end{cases}
As perguntas são:
(a) calcular \lim_{x\to 1^{+}} f(x);
(b) calcular \lim_{x\to 1^{-}} f(x);
(c) determinar \lim_{x\to 1} f(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<1 a expressão que vale é 2x+3.
  • Para x=1 o valor da função é 4.
  • Para x>1 a expressão que vale é x^{2}+2.
  • Lembrete importante (usado mais adiante): o valor f(1) não altera os limites laterais nem o limite quando x se aproxima de 1; o que importa para os limites são os valores das expressões para x próximos de 1, à esquerda e à direita.]

Passo 2

O que é \lim_{x\to 1^{+}} f(x) (limite pela direita) e como calculamos na prática:
  • \lim_{x\to 1^{+}} f(x) significa aproximar x de 1 por valores maiores que 1 (ou seja, x>1 e x\to1).
  • Para calcular, usamos a expressão que define f para x>1, que é \,x^{2}+2.
  • Quando a expressão usada é uma função polinomial (como x^{2}+2), ela é contínua onde está definida; isso permite calcular o limite simplesmente substituindo x=1 na expressão.
    Explicando continuidade rápida e por que dá para substituir: uma função polinomial não tem “quebra” ou “infinito” perto de 1, então o valor aproximado quando x está perto de 1 é próximo de x^{2}+2 avaliada em 1.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 1^{+}} f(x) usando o raciocínio do passo anterior.
\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}} (x^{2}+2)=1^{2}+2=3.
Portanto o limite pela direita vale \,3.

Passo 4

O que é \lim_{x\to 1^{-}} f(x) (limite pela esquerda) e como calculamos na prática:
  • \lim_{x\to 1^{-}} f(x) significa aproximar x de 1 por valores menores que 1 (ou seja, x<1 e x\to1).
  • Para isso usamos a expressão que define f para x<1, que é \,2x+3.
  • A expressão 2x+3 é linear (portanto contínua), então o limite pela esquerda é obtido substituindo x=1.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to 1^{-}} f(x).
\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{-}} (2x+3)=2\cdot 1 + 3 = 5.
Portanto o limite pela esquerda vale \,5.

Passo 6

Comparação e conclusão sobre o limite bilateral \lim_{x\to 1} f(x):
  • A existência do limite \lim_{x\to 1} f(x) exige que os dois limites laterais sejam iguais:
\lim_{x\to 1^{+}} f(x)\stackrel{?}{=}\lim_{x\to 1^{-}} f(x).
  • Aqui encontramos \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=3 e \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=5, que são diferentes.
  • Portanto o limite bilateral \lim_{x\to 1} f(x) não existe (às vezes abreviado por DNE: “does not exist”).
Observação extra (útil na prova): o valor da função em x=1, que é f(1)=4, é diferente de ambos os limites laterais — isso indica que a função tem uma descontinuidade do tipo salto em x=1.

Resposta

(a) \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=3
(b) \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=5
(c) \lim_{x\to 1} f(x) não existe (os limites laterais são distintos)

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