Lembrete importante (usado mais adiante): o valor f(1) não altera os limites laterais nem o limite quando x se aproxima de 1; o que importa para os limites são os valores das expressões para x próximos de 1, à esquerda e à direita.]
Passo 2
O que é \lim_{x\to 1^{+}} f(x) (limite pela direita) e como calculamos na prática:
\lim_{x\to 1^{+}} f(x) significa aproximar x de 1 por valores maiores que 1 (ou seja, x>1 e x\to1).
Para calcular, usamos a expressão que define f para x>1, que é \,x^{2}+2.
Quando a expressão usada é uma função polinomial (como x^{2}+2), ela é contínua onde está definida; isso permite calcular o limite simplesmente substituindo x=1 na expressão.
Explicando continuidade rápida e por que dá para substituir: uma função polinomial não tem “quebra” ou “infinito” perto de 1, então o valor aproximado quando x está perto de 1 é próximo de x^{2}+2 avaliada em 1.
Passo 3
Calcular \lim_{x\to 1^{+}} f(x) usando o raciocínio do passo anterior.
Aqui encontramos \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=3 e \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=5, que são diferentes.
Portanto o limite bilateral \lim_{x\to 1} f(x) não existe (às vezes abreviado por DNE: “does not exist”).
Observação extra (útil na prova): o valor da função em x=1, que é f(1)=4, é diferente de ambos os limites laterais — isso indica que a função tem uma descontinuidade do tipo salto em x=1.
Resposta
(a) \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=3
(b) \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=5
(c) \lim_{x\to 1} f(x) não existe (os limites laterais são distintos)