Um aquário de volume 96.000 cm^3 em forma de paralelepípedo e sem tampa será construído. O custo, por cm^2, do vidro usado na base é o triplo do custo do vidro usado nas laterais. Determine as medidas das dimensões do aquário que minimizam o custo de fabricação.

Passo 1

O problema é construir um aquário aberto em forma de paralelepípedo de volume fixo de 96.000 cm^3, onde o custo do vidro da base é o triplo do custo do vidro das laterais. Vamos usar técnicas de otimização com restrição de volume para minimizar o custo total de fabricação.

Passo 2

Definimos as variáveis x e y como as dimensões da base (em cm) e z como a altura (em cm). A restrição de volume é
xyz = 96000

Passo 3

O custo por cm² do vidro lateral é c, e o da base é 3c. A área da base é xy e a área total das 4 faces laterais é 2xz + 2yz. Logo, o custo total é
C = 3c,xy + c,(2xz + 2yz) = cl(3xy + 2z(x + y)r)

Passo 4

Para eliminar z, usamos a restrição de volume:
z = 96000xy

Passo 5

Substituindo em C/c (podemos desprezar o fator constante c na minimização), definimos
f(x,y)=3xy + 296000xy(x+y) = 3xy + 2times96000l(tfrac1x + tfrac1yr)

Passo 6

Para encontrar o mínimo, igualamos as derivadas parciais a zero:
partial fpartial x=3y - 2times96000,x^-2=0,
partial fpartial y=3x - 2times96000,y^-2=0

Passo 7

Da primeira equação vem 3y=2times96000/x^2, ou seja y=192000/(3x^2)=64000/x^2. Pela simetria ou substituição na segunda, obtemos
x^3 = 2times960003 = 64000, logo
x = 40 cm, e como y=64000/x^2, então y=40 cm. Finalmente
z= 9600040cdot40 = 60 cm

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são: base de 40 cm × 40 cm e altura de 60 cm.

Exercícios relacionados