Um aquário de volume
forma de paralelepípedo e sem tampa será construído. O custo, por
, do vidro usado na base é o triplo do custo do vidro usado nas laterais. Determine as medidas das dimensões do aquário que minimizam o custo de fabricação.
Passo 1
O problema é construir um aquário aberto em forma de paralelepípedo de volume fixo de
, onde o custo do vidro da base é o triplo do custo do vidro das laterais. Vamos usar técnicas de otimização com restrição de volume para minimizar o custo total de fabricação.
Passo 2
Definimos as variáveis
e
como as dimensões da base (em cm) e
como a altura (em cm). A restrição de volume é
Passo 3
O custo por cm² do vidro lateral é
, e o da base é
. A área da base é
e a área total das 4 faces laterais é
. Logo, o custo total é
Passo 4
Para eliminar
, usamos a restrição de volume:
Passo 5
Substituindo em
(podemos desprezar o fator constante
na minimização), definimos
Passo 6
Para encontrar o mínimo, igualamos as derivadas parciais a zero:
Passo 7
Da primeira equação vem
, ou seja
. Pela simetria ou substituição na segunda, obtemos
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são: base de 40 cm × 40 cm e altura de 60 cm.