Considere a função de duas variáveis dada por f(x, y)=x+y-1raizx-raiz1-y. Usando diferenciais encontre uma aproximação para f(9.06,-3.04).

Passo 1

O exercício pede para aproximar a função f(x,y)=x+y-1raizx-raiz1-y no ponto (9.06,-3.04) usando diferenciais. Vamos usar que para uma função de duas variáveis a aproximação linear é:
f(a+De

Passo 2

Como (9.06,-3.04) está perto de (9,-3), escolhemos a=9 e b=-3, definindo De e De. Precisamos do valor de f(9,-3) e das derivadas parciais em (9,-3).

Passo 3

Para f(9,-3), calculemos o numerador e o denominador:
N = 9 + (-3) - 1 = 5,
D = raiz9 - raiz1-(-3) = 3 - 2 = 1
Logo,
f(9,-3) = ND = 5

Passo 4

Vamos derivar fx e fy usando a regra do quociente em f(x,y)=N(x,y)D(x,y). Temos
Nx = 1, Dx = 12raizx,
Ny = 1, Dy = 12raiz1-y,
então
fx = Nx,D - N,DxD^2, fy = Ny,D - N,DyD^2

Passo 5

Avaliando em (9,-3) com N=5 e D=1:
fx(9,-3) = 1cdot1 - 5cdot161^2 = 16,
fy(9,-3) = 1cdot1 - 5cdot141^2 = -14
A diferencial é
df = fx,De

Passo 6

Usando a aproximação linear,
f(9.06,-3.04) approx f(9,-3) + df = 5 + 0.02

Resposta

5.02

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