O sinal x(t)=e^-2 t u(t) é aplicado à entrada de um sistema passa-baixas com resposta em frequência dada por:
H(j omega)= 1, & |omega|omegac
Determine o valor de omegac para que o sinal y(t) na saída do sistema contenha no máximo 90 % da energia de x(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de omegac em um sistema passa-baixas tal que a energia do sinal de saída y(t) seja, no máximo, 90% da energia do sinal de entrada x(t). Aqui, o sinal de entrada é x(t) = e^-2t u(t), onde u(t) é a função degrau unitário. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformada de Fourier, energia de sinais e filtros passa-baixas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia do sinal de entrada x(t). A energia de um sinal x(t) é dada por:
Ex = integral-infty^infty |x(t)|^2 dt
No nosso caso, x(t) = e^-2t u(t), então:
Ex = integral0^infty e^-4t dt

Passo 3

Resolvendo a integral para Ex:
Ex = integral0^infty e^-4t dt = [ -14 e^-4t ]0^infty = 14
Então, a energia do sinal de entrada é 14.

Passo 4

Agora, vamos analisar a resposta em frequência do sistema passa-baixas. A função de transferência é:
H(jomega) = 1, & |omega| < omegac 0, & |omega| > omegac
Isso significa que o sistema deixa passar todas as frequências abaixo de omegac e bloqueia as acima.

Passo 5

Para encontrar a energia do sinal de saída y(t), precisamos calcular a energia após a filtragem, que é:
Ey = integral-omegac^omegac |X(jomega)|^2 domega
Onde X(jomega) é a transformada de Fourier de x(t).

Passo 6

Vamos calcular X(jomega). A transformada de Fourier de x(t) = e^-2t u(t) é:
X(jomega) = 12 + jomega
Então, o módulo ao quadrado é:
|X(jomega)|^2 = 14 + omega^2

Passo 7

Substituindo na expressão para Ey:
Ey = integral-omegac^omegac 14 + omega^2 domega
Sabemos que a integral de 1a^2 + omega^2 é 1a tan^-1(omegaa). Aqui, a = 2.

Passo 8

Calculando a integral:
Ey = [ 12 tan^-1(omega2) ]-omegac^omegac = 12 ( tan^-1(omegac2) - tan^-1(-omegac2) )
Como tan^-1(-x) = -tan^-1(x), simplificamos para:
Ey = 12 ( 2 tan^-1(omegac2) ) = tan^-1(omegac2)

Passo 9

Queremos que Ey seja no máximo 90% de Ex:
Ey <= 0.9 times Ex
Substituindo os valores que encontramos:
tan^-1(omegac2) <= 0.9 times 14
Simplificando:
tan^-1(omegac2) <= 0.94 = 0.225 radianos

Passo 10

Agora, isolamos omegac:
omegac2 <= tan(0.225)
Calculando tan(0.225):
tan(0.225) approx 0.229
Multiplicando ambos os lados por 2:
omegac <= 2 times 0.229 = 0.458 rad/s

Resposta

O valor de omegac deve ser, no máximo, aproximadamente 0.458 rad/s para que a energia do sinal de saída y(t) seja, no máximo, 90% da energia do sinal de entrada x(t).

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