O sinal
é aplicado à entrada de um sistema passa-baixas com resposta em frequência dada por:
Determine o valor de
para que o sinal
na saída do sistema contenha no máximo
da energia de
.
Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de
em um sistema passa-baixas tal que a energia do sinal de saída
seja, no máximo, 90% da energia do sinal de entrada
. Aqui, o sinal de entrada é
, onde
é a função degrau unitário. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformada de Fourier, energia de sinais e filtros passa-baixas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia do sinal de entrada
. A energia de um sinal
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Resolvendo a integral para
:
Então, a energia do sinal de entrada é
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a resposta em frequência do sistema passa-baixas. A função de transferência é:
Isso significa que o sistema deixa passar todas as frequências abaixo de
e bloqueia as acima.
Passo 5
Para encontrar a energia do sinal de saída
, precisamos calcular a energia após a filtragem, que é:
Onde
é a transformada de Fourier de
.
Passo 6
Vamos calcular
. A transformada de Fourier de
é:
Então, o módulo ao quadrado é:
Passo 7
Substituindo na expressão para
:
Sabemos que a integral de
é
. Aqui,
.
Passo 8
Calculando a integral:
Como
, simplificamos para:
Passo 9
Queremos que
seja no máximo 90% de
:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 10
Agora, isolamos
:
Calculando
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Resposta
O valor de
deve ser, no máximo, aproximadamente
rad/s para que a energia do sinal de saída
seja, no máximo, 90% da energia do sinal de entrada
.