Um aquecedor delgado é inserido entre uma barra circular longa e um tubo concêntrico com raios interno e externo de 20 e 40 mm , respectivamente. A barra (A) tem condutividade térmica kA=0,15 W /(m K), enquanto a do tubo (B) é kB=1,5 W /(m K) e sua superfície externa está sujeita a convecção com um fluido de temperatura Tinfty=-15^circ C e coeficiente de transferência de calor 50 W /(m^2 K). A resistência térmica de contato entre as superfícies do cilindro e o aquecedor é desprezível.
Determine a potência elétrica de comprimento dos cilindros (W / m), necessária para manter a superfície externa do cilindro B a 5^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos:
  • Um cilindro maciço A (raio interno zero até 20 mm) com k_A=0,15 W/mK;
  • Um tubo concêntrico B (de 20 mm a 40 mm) com k_B=1,5 W/mK;
  • Na superfície externa do tubo (r=40 mm) tem convecção para um fluido a T∞=–15 °C, com h=50 W/m²K;
  • Um aquecedor fino entre A e B (raio r=20 mm) injeta potência por comprimento q′ (W/m) e não há resistência de contato.
    O que queremos achar é q′ para manter a face externa do tubo em T_s=5 °C.
    Conteúdo: condução radial em cilindros, resistência térmica de condução e de convecção.

Passo 2

Teoria de condução e resistência térmica cilíndrica
Quando o calor flui radialmente num cilindro de raio interno r₁ e externo r₂, a “resistência térmica” à condução é
Rrm cond=ln(r2/r1)2pi k L,,
onde L é o comprimento (aqui consideramos por metro, L=1 m). E a convecção na parede externa dá
Rrm conv=1h,2pi r2 L,
O fluxo térmico por comprimento (P′=q′) é então
q'=Trm int-TinftyRrm cond+Rrm conv,
No nosso caso o aquecedor fica em r₁=20 mm e a convecção ocorre em r₂=40 mm.

Passo 3

Observação sobre o cilindro A
Apesar de ter k_A, não há para onde o calor fluir para dentro de A (centro r=0 é simetria, dT/dr=0), então todo calor gerado pelo aquecedor sai para o tubo B e depois para o fluido. Assim vamos usar apenas k_B para a parte de condução radial.

Passo 4

Cálculo da resistência de condução no tubo B
Dados: r₁=0,02 m, r₂=0,04 m, k_B=1,5 W/mK, L=1 m.
Rrm cond =ln(0,04/0,02)2pi,(1,5),(1) =ln22picdot1,5 approx0,69319,4248 approx0,0735 K/W·m

Passo 5

Cálculo da resistência de convecção
Dados: h=50 W/m²K, r₂=0,04 m, L=1 m.
Rrm conv =150cdot2picdot0,04cdot1 =150cdot0,2513 approx0,0796 K/W·m

Passo 6

Combinação e obtenção de q′
A diferença de temperatura entre a superfície externa (5 °C) e o fluido (–15 °C) é ΔT=5–(–15)=20 K.
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q'=De

Resposta

A potência por comprimento necessária é, aproximadamente,
boxedq'approx1,31times10^2 W/m

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