Um aquecedor delgado é inserido entre uma barra circular longa e um tubo concêntrico com raios interno e externo de 20 e 40 mm , respectivamente. A barra (A) tem condutividade térmica
, enquanto a do tubo (B) é
e sua superfície externa está sujeita a convecção com um fluido de temperatura
e coeficiente de transferência de calor
. A resistência térmica de contato entre as superfícies do cilindro e o aquecedor é desprezível.
Determine a potência elétrica de comprimento dos cilindros
, necessária para manter a superfície externa do cilindro B a
.
Determine a potência elétrica de comprimento dos cilindros
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos:
- Um cilindro maciço A (raio interno zero até 20 mm) com k_A=0,15 W/mK;
- Um tubo concêntrico B (de 20 mm a 40 mm) com k_B=1,5 W/mK;
- Na superfície externa do tubo (r=40 mm) tem convecção para um fluido a T∞=–15 °C, com h=50 W/m²K;
- Um aquecedor fino entre A e B (raio r=20 mm) injeta potência por comprimento q′ (W/m) e não há resistência de contato.
O que queremos achar é q′ para manter a face externa do tubo em T_s=5 °C.
Conteúdo: condução radial em cilindros, resistência térmica de condução e de convecção.
Passo 2
Teoria de condução e resistência térmica cilíndrica
Quando o calor flui radialmente num cilindro de raio interno r₁ e externo r₂, a “resistência térmica” à condução é
Quando o calor flui radialmente num cilindro de raio interno r₁ e externo r₂, a “resistência térmica” à condução é
onde L é o comprimento (aqui consideramos por metro, L=1 m). E a convecção na parede externa dá
O fluxo térmico por comprimento (P′=q′) é então
No nosso caso o aquecedor fica em r₁=20 mm e a convecção ocorre em r₂=40 mm.
Passo 3
Observação sobre o cilindro A
Apesar de ter k_A, não há para onde o calor fluir para dentro de A (centro r=0 é simetria, dT/dr=0), então todo calor gerado pelo aquecedor sai para o tubo B e depois para o fluido. Assim vamos usar apenas k_B para a parte de condução radial.
Apesar de ter k_A, não há para onde o calor fluir para dentro de A (centro r=0 é simetria, dT/dr=0), então todo calor gerado pelo aquecedor sai para o tubo B e depois para o fluido. Assim vamos usar apenas k_B para a parte de condução radial.
Passo 4
Cálculo da resistência de condução no tubo B
Dados: r₁=0,02 m, r₂=0,04 m, k_B=1,5 W/mK, L=1 m.
Dados: r₁=0,02 m, r₂=0,04 m, k_B=1,5 W/mK, L=1 m.
Passo 5
Cálculo da resistência de convecção
Dados: h=50 W/m²K, r₂=0,04 m, L=1 m.
Dados: h=50 W/m²K, r₂=0,04 m, L=1 m.
Passo 6
Combinação e obtenção de q′
A diferença de temperatura entre a superfície externa (5 °C) e o fluido (–15 °C) é ΔT=5–(–15)=20 K.
Logo
A diferença de temperatura entre a superfície externa (5 °C) e o fluido (–15 °C) é ΔT=5–(–15)=20 K.
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Resposta
A potência por comprimento necessária é, aproximadamente,