Um aquecedor delgado é inserido entre uma barra circular longa e um tubo concêntrico com raios interno e externo de 20 e 40 mm , respectivamente. A barra (A) tem condutividade térmica kA=0,15 W /(m K), enquanto a do tubo (B) é kB=1,5 W /(m K) e sua superfície externa está sujeita a convecção com um fluido de temperatura Tinfty=-15^circ C e coeficiente de transferência de calor 50 W /(m^2 K). A resistência térmica de contato entre as superfícies do cilindro e o aquecedor é desprezível.
Qual a temperatura no centro do cilindro (A)?

Passo 1

O enunciado diz que temos:
  • Uma barra sólida (A) de raio interno r₁ = 20 mm, k_A = 0,15 W/m·K
  • Um tubo concêntrico (B) com raios r₁ = 20 mm e r₂ = 40 mm, k_B = 1,5 W/m·K
  • Superfície externa do tubo em convecção para fluido a T∞ = –15 °C, h = 50 W/m²·K
  • Entre A e B existe um aquecedor “delgado” (isto é, de espessura desprezível) que fornece uma potência Q′ (W por metro de comprimento).
    Queremos achar a temperatura no centro da barra A, T₀, em função de Q′.
    Conteúdos: condução radial em cilindros e convecção no contorno externo.

Passo 2

Como o aquecedor é infinitamente fino, a queda de temperatura nele é nula e toda a energia Q′ gerada entra em contato com A e B simultaneamente.
Mas no interior da barra A (de r = 0 até r₁) não há saída de calor (não há convecção nem geração lá dentro), logo a distribuição de temperatura em A é plana.
Isto significa que T® em A é constante para 0≤r≤r₁, ou seja
T₀ = T(r₁)
( k_A e a espessura de A não entram na conta de queda de temperatura, porque não há fluxo lá para fora nem para dentro.)

Passo 3

Agora calculamos o salto de temperatura de r₁ até o fluido externo em duas etapas:
  1. Condução radial através da parede B (r₁→r₂)
  2. Convecção na superfície externa r₂
Para condução em cilindro fino temos a resistência
R_cond = (1/(2π·k_B·L))·ln(r₂/r₁)
e para convecção na superfície externa
R_conv = 1/(h·2π·r₂·L)
Como tudo está no regime permanente e em regime unidimensional, a queda total de T entre T(r₁) e T∞ é
ΔT = Q′·(R_cond + R_conv)

Passo 4

Escrevendo T(r₁) = T₀ e T∞ como dado,
T₀ – T∞ = Q′·[
(1/(2π·k_B·L))·ln(r₂/r₁)
  • 1/(h·2π·r₂·L)
    ]
Substituindo r₁=0,02 m, r₂=0,04 m e isolando T₀:
T₀ = T∞
  • Q′
    · {
    [1/(2π·k_B)]·ln(r₂/r₁)
    • [1/(2π·r₂·h)]
      }
      (todos os comprimentos em metros, Q′ em W/m)

Resposta

T₀ = –15 °C
+ Q′ ·
{
1
2π·(1,5)
ln(0,04/0,02)
+ 1
2π·0,04·50
}
ou, de forma mais limpa:
T0 ;=;-15^circC ;+;dfracQ'2pi,gl[;dfracln(0,04/0,02),1,5, ;+;dfrac10,04cdot 50gr]

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