Exercicios.
1 - Ar escoa num tubo convergente. A área da maior seção do tubo é 10 \mathrm{~cm}^{2} e a da menor é 5 \mathrm{~cm}^{2}. A massa específica do água é 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Sendo a velocidade na seção 1 de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determinar a velocidade na seção 2 e a vazão em volume.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados:
  • Área da maior seção: A_1 = 10\\ \mathrm{cm}^2.
  • Área da menor seção: A_2 = 5\\ \mathrm{cm}^2.
  • Massa específica (densidade): \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Velocidade na seção 1: v_1 = 1\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
  • Determinar a velocidade na seção 2, isto é v_2.
  • Determinar a vazão em volume (vazão volumétrica), isto é Q.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar: conservação da massa para um escoamento incompressível e estacionário (continuidade). Para esse caso a vazão volumétrica é constante ao longo do tubo, o que dá a relação
A_1 v_1 = A_2 v_2.
Aqui:
  • A_1 e A_2 são as áreas transversais das seções 1 e 2 (em \mathrm{m}^2);
  • v_1 e v_2 são as velocidades médias nessas seções (em \mathrm{m/s});
  • Q (vazão volumétrica) é Q = A v e, como o escoamento é contínuo, Q = A_1 v_1 = A_2 v_2.
Explicando em miúdos: tudo o que entra por segundo numa seção do tubo tem de sair pela outra seção (para escoamento estacionário e sem acumulação), então a área menor força a velocidade a aumentar proporcionalmente.

Passo 3

Converter as áreas de \mathrm{cm}^2 para \mathrm{m}^2. Lembre: 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
A_1 = 10\\ \mathrm{cm}^2 = 10 \times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
A_2 = 5\\ \mathrm{cm}^2 = 5 \times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular v_2 usando a equação da continuidade. Reorganizando A_1 v_1 = A_2 v_2 para v_2:
v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1.
Substituindo os valores que já convertemos:
v_2 = \frac{1\times10^{-3}}{5\times10^{-4}}\times 1\\ \mathrm{m/s} = \frac{1}{0{,}5}\\ \mathrm{m/s}=2\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a área caiu pela metade ( 10\\ \mathrm{cm}^2 \to 5\\ \mathrm{cm}^2), então a velocidade dobrou.

Passo 5

Calcular a vazão volumétrica Q. Podemos usar Q = A_1 v_1 (ou Q = A_2 v_2, dá o mesmo):
Q = A_1 v_1 = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2 \times 1\\ \mathrm{m/s} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Converter para litros por segundo: 1\\ \mathrm{m}^3 = 1000\\ \mathrm{L}, então
Q = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 1\\ \mathrm{L/s}.

Passo 6

Observação útil (opcional): a densidade \rho não era necessária para encontrar v_2 nem Q. Mas, se quiser saber a vazão mássica \dot{m}, usa-se \dot{m}=\rho Q. Com \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3 e Q = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
\dot{m} = 1000 \times 1\times10^{-3} = 1\\ \mathrm{kg/s}.
É sempre bom checar: as unidades batem e os números são simples — sinal de que a conta está coerente.

Resposta

v_2 = 2\\ \mathrm{m/s}
Q = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 1\\ \mathrm{L/s}

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