Um aquecedor de Nicromo dissipa 500 W quando a diferença de potencial aplicada é de 110 V e a temperatura do fio é 800^{\circ} \mathrm{C}. Qual será o valor da potência dissipada se a temperatura do fio for mantida em 200^{\circ} \mathrm{C} pela imersão num banho de óleo? A diferença de potencial permanece a mesma e o valor de \alpha para o Nicromo a 800^{\circ} \mathrm{C} é 4,0 \times 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá um aquecedor de Nicromo com as seguintes informações que importam para o problema:
V=110\\ \mathrm{V}
P_1=500\\ \mathrm{W}\quad\text{quando}\quad T_1=800^\circ\mathrm{C}
T_2=200^\circ\mathrm{C}
\alpha=4{,}0\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}\quad\text{(valor dado em }T_1=800^\circ\mathrm{C}\text{)}
A pergunta é: qual será a potência dissipada P_2 quando a diferença de potencial continua sendo V e a temperatura do fio passa a ser T_2?

Passo 2

Vamos lembrar e justificar as fórmulas que usaremos (passo-a-passo, como se estivéssemos na prova):
A potência elétrica dissipada por um resistor pode ser escrita como
P=VI,
onde \;P\; é a potência (em watts), \;V\; é a diferença de potencial (em volts) e \;I\; é a corrente (em ampères). Pela lei de Ohm temos
V=IR,
onde \;R\; é a resistência elétrica (em ohms). Substituindo I=V/R em P=VI obtemos a forma muito útil
P=\frac{V^{2}}{R}.
Aqui cada símbolo significa:
\;P\; potência, \;V\; tensão aplicada, \;R\; resistência do fio.

Passo 3

Com a relação \;P=\dfrac{V^{2}}{R}\; podemos obter a resistência do fio à temperatura inicial T_1:
R_1=\frac{V^{2}}{P_1}.
Substituindo os valores (tudo em notação matemática):
R_1=\frac{(110)^2}{500}=\frac{12100}{500}=24{,}2\\ \Omega.
Portanto a resistência do fio a 800^\circ\mathrm{C} é \;R_1=24{,}2\\ \Omega.

Passo 4

Agora precisamos relacionar a resistência do fio na nova temperatura T_2 com a resistência em T_1. Para metais, usando a aproximação linear válida para variações moderadas de temperatura, a resistência varia como
R(T)=R(T_0)\bigl[1+\alpha\,(T-T_0)\bigr],
onde \alpha é o coeficiente de temperatura da resistência (indica a fração de variação da resistência por grau Celsius, ou seja, variação relativa por grau). No nosso caso o valor de \alpha foi fornecido em T_1=800^\circ\mathrm{C}, então podemos tomar T_0=T_1 e escrever diretamente:
R_2=R_1\bigl[1+\alpha\,(T_2-T_1)\bigr].
Calcule o deslocamento de temperatura:
T_2-T_1=200^\circ\mathrm{C}-800^\circ\mathrm{C}=-600^\circ\mathrm{C}.
Logo
R_2=R_1\bigl[1+\alpha(-600)\bigr]=R_1\bigl(1-600\alpha\bigr).
Observação física: como \alpha>0 para metais, ao diminuir a temperatura a resistência diminui (o termo 1-600\alpha é menor que 1), e com a mesma tensão isso tende a aumentar a potência dissipada.

Passo 5

Queremos P_2 com a mesma tensão V. Usando \;P=\dfrac{V^{2}}{R}\; para P_2 e substituindo R_2 da expressão anterior:
P_2=\frac{V^{2}}{R_2}=\frac{V^{2}}{R_1(1-600\alpha)}.
Mas V^{2}/R_1=P_1 (definição de R_1 no Passo 3), então simplificamos:
P_2=\frac{P_1}{1-600\alpha}.
Essa é uma forma elegante: a potência nova é a potência antiga corrigida pelo fator (1-600\alpha)^{-1}.

Passo 6

Agora plugamos os números:
600\alpha=600\times 4{,}0\times10^{-4}=600\times 0{,}0004=0{,}24.
Então
P_2=\frac{500}{1-0{,}24}=\frac{500}{0{,}76}=657{,}8947\ldots\\ \mathrm{W}.
Arredondando com três algarismos significativos (suficiente para dados fornecidos):
P_2\approx 6{,}58\times10^{2}\\ \mathrm{W}\quad\text{(ou)}\quad 658\\ \mathrm{W}.
Interpretação rápida: ao resfriar o fio de 800^\circ\mathrm{C} para 200^\circ\mathrm{C} a resistência caiu e, com a mesma tensão, a potência aumentou cerca de 31{,}6\%.

Resposta

6{,}58\times10^{2}\\ \mathrm{W}

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