Dois condutores são feitos do mesmo material e têm o mesmo comprimento. O condutor A é um fio sólido de diâmetro 1,0 \mathrm{~mm}. O condutor B é um tubo oco de diâmetro externo de 2,0 \mathrm{~mm} e diâmetro interno de 1,0 \mathrm{~mm}. Qual a razão entre as resistências R_{A} / R_{B}, medidas entre as suas extremidades?

Passo 1

O enunciado dá dois condutores feitos do mesmo material e com o mesmo comprimento. Pergunta-se a razão entre as resistências medidas entre as extremidades: qual é \displaystyle R_{A}/R_{B}. Dados fornecidos:
\text{Condutor A: fio sólido, diâmetro } d_A = 1{,}0\\ \text{mm}.óâ
\text{Condutor B: tubo oco, diâmetro externo } d_{B,\text{ext}} = 2{,}0\\ \text{mm},\\ \text{diâmetro interno } d_{B,\text{int}} = 1{,}0\\ \text{mm}.ââ
Todas as grandezas necessárias para o problema estão aqui (mesmo material ⇒ mesma resistividade, mesmo comprimento). A resolução começa agora.

Passo 2

Recordando a fórmula básica da resistência elétrica de um condutor homogêneo e uniforme:
R=\rho\,\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade do material (constante para ambos os condutores), L é o comprimento do condutor (igual para os dois) e A é a área da secção transversal. Vou explicar: resistência aumenta com o comprimento (mais caminho para os elétrons) e diminui com a área (mais “espaço” para passar corrente). Como \rho e L são iguais para A e B, ao formar a razão R_A/R_B esses factores se cancelam, sobrando apenas a razão das áreas. Escrevo isso:
\frac{R_A}{R_B}=\frac{\rho\,\dfrac{L}{A_A}}{\rho\,\dfrac{L}{A_B}}=\frac{A_B}{A_A}.
Ou seja: para comparar resistências aqui basta comparar as áreas das secções transversais.

Passo 3

Calcular a área da secção transversal do condutor A (fio sólido). A secção é um círculo de diâmetro \,d_A=1{,}0\\ \text{mm}, então o raio é
r_A=\frac{d_A}{2}=\frac{1{,}0}{2}=0{,}50\\ \text{mm}.
A área de um círculo é \,A=\pi r^2. Assim:
A_A=\pi r_A^2=\pi (0{,}50)^2=\pi\cdot 0{,}25\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Calcular a área da secção transversal do condutor B (tubo oco). A secção é um anel (diferença de dois círculos): área externa menos área interna. Dados: diâmetro externo \,d_{B,\text{ext}}=2{,}0\\ \text{mm} ⇒ raio externo
R_B=\frac{d_{B,\text{ext}}}{2}=\frac{2{,}0}{2}=1{,}0\\ \text{mm},
e diâmetro interno \,d_{B,\text{int}}=1{,}0\\ \text{mm} ⇒ raio interno
r_B=\frac{d_{B,\text{int}}}{2}=\frac{1{,}0}{2}=0{,}50\\ \text{mm}.
A área do anel é
A_B=\pi R_B^2-\pi r_B^2=\pi\left(R_B^2-r_B^2\right)=\pi\left(1{,}0^2-0{,}50^2\right).
Calculando:
1{,}0^2-0{,}50^2=1{,}00-0{,}25=0{,}75,
logo
A_B=\pi\cdot 0{,}75\\ \text{mm}^2.

Passo 5

Agora volto à razão das resistências que ficou igual à razão das áreas invertida:
\frac{R_A}{R_B}=\frac{A_B}{A_A}.
Substituo as áreas que calculei:
\frac{R_A}{R_B}=\frac{\pi\cdot 0{,}75}{\pi\cdot 0{,}25}.

Passo 6

Simplifico a expressão: o fator \pi cancela, restando uma razão de números:
\frac{R_A}{R_B}=\frac{0{,}75}{0{,}25}=\frac{75}{25}=3.
Interpretação rápida: o tubo oco tem seção três vezes maior que o fio sólido de 1,0 mm de diâmetro, então sua resistência é três vezes menor; portanto R_A (fio sólido) é três vezes R_B.

Passo 7

Checagem de unidades e intuição: usei milímetros para as áreas mas como trabalhei com razão, as unidades cancelam; resultado adimensional. Intuitivamente, o tubo tem parede externa com raio duas vezes o raio do fio e buraco do mesmo raio do fio, deixando uma área útil maior — por isso menor resistência.

Resposta

3

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