Dois condutores são feitos do mesmo material e têm o mesmo comprimento. O condutor A é um fio sólido de diâmetro
. O condutor B é um tubo oco de diâmetro externo de
e diâmetro interno de
. Qual a razão entre as resistências
, medidas entre as suas extremidades?
Passo 1
O enunciado dá dois condutores feitos do mesmo material e com o mesmo comprimento. Pergunta-se a razão entre as resistências medidas entre as extremidades: qual é
. Dados fornecidos:
Todas as grandezas necessárias para o problema estão aqui (mesmo material ⇒ mesma resistividade, mesmo comprimento). A resolução começa agora.
Passo 2
Recordando a fórmula básica da resistência elétrica de um condutor homogêneo e uniforme:
onde
é a resistividade do material (constante para ambos os condutores),
é o comprimento do condutor (igual para os dois) e
é a área da secção transversal. Vou explicar: resistência aumenta com o comprimento (mais caminho para os elétrons) e diminui com a área (mais “espaço” para passar corrente). Como
e
são iguais para A e B, ao formar a razão
esses factores se cancelam, sobrando apenas a razão das áreas. Escrevo isso:
Ou seja: para comparar resistências aqui basta comparar as áreas das secções transversais.
Passo 3
Calcular a área da secção transversal do condutor A (fio sólido). A secção é um círculo de diâmetro
, então o raio é
A área de um círculo é
. Assim:
Passo 4
Calcular a área da secção transversal do condutor B (tubo oco). A secção é um anel (diferença de dois círculos): área externa menos área interna. Dados: diâmetro externo
⇒ raio externo
e diâmetro interno
⇒ raio interno
A área do anel é
Calculando:
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Passo 5
Agora volto à razão das resistências que ficou igual à razão das áreas invertida:
Substituo as áreas que calculei:
Passo 6
Simplifico a expressão: o fator
cancela, restando uma razão de números:
Interpretação rápida: o tubo oco tem seção três vezes maior que o fio sólido de 1,0 mm de diâmetro, então sua resistência é três vezes menor; portanto
(fio sólido) é três vezes
.
Passo 7
Checagem de unidades e intuição: usei milímetros para as áreas mas como trabalhei com razão, as unidades cancelam; resultado adimensional. Intuitivamente, o tubo tem parede externa com raio duas vezes o raio do fio e buraco do mesmo raio do fio, deixando uma área útil maior — por isso menor resistência.
Resposta
3