5. Aquecimento global

Umas consequências do aquecimento global é o derretimento das calotas polares da Terra. No caso extremo de que todo o gelo derreta, podemos dizer que:
◯ a duração do dia diminuirá devido à diminuição do momento de inércia
◯ a duração do dia diminuirá devido ao aumento do momento de inércia
◯ a duração do dia aumentará devido à diminuição do momento de inércia
◯ a duração do dia e o momento de inércia permanecerão constantes
◯ a duração do dia aumentará devido ao aumento do momento de inércia

Passo 1

O enunciado pergunta o que aconteceria com a duração do dia no caso extremo de que todo o gelo das calotas polares derreta. As opções dadas são (copiadas do enunciado):
  • a duração do dia diminuirá devido à diminuição do momento de inércia;
  • a duração do dia diminuirá devido ao aumento do momento de inércia;
  • a duração do dia aumentará devido à diminuição do momento de inércia;
  • a duração do dia e o momento de inércia permanecerão constantes;
  • a duração do dia aumentará devido ao aumento do momento de inércia.
Informações relevantes fornecidas ou implicadas pelo enunciado:
  • Situação extrema: todo o gelo das calotas polares derrete.
  • Quando o gelo derrete, sua massa deixa de estar concentrada sobre os polos (próxima ao eixo de rotação) e passa a fazer parte dos oceanos, espalhando‑se para latitudes mais baixas (maior distância média ao eixo de rotação).
  • A pergunta pede que relacionemos essa redistribuição de massa com o momento de inércia e com a duração do dia.

Passo 2

O que é momento de inércia? Vou explicar devagar e com exemplo, como se estivéssemos desenhando no caderno.
Definição básica (discreta): para um conjunto de massas, o momento de inércia relativo a um eixo é
I=\sum_{i} m_{i} r_{i}^{2},
onde \,m_{i} é a massa do i‑ésimo pedaço e \,r_{i} é a distância desse pedaço ao eixo de rotação. Para um corpo contínuo, a versão integral é
I=\int r^{2}\,dm.
O que isso significa em palavras simples: cada pedacinho de massa contribui com um valor proporcional à sua massa multiplicada pelo quadrado da sua distância ao eixo. Portanto, quanto mais longe do eixo estiver a massa, maior a contribuição para I.
Exemplo concreto e numérico simples (para fixar a ideia): imagine duas massas iguais m. Se uma estiver a r=1 e a outra a r=2, então
I = m\cdot 1^{2} + m\cdot 2^{2} = m(1+4)=5m.
Se eu pegar a massa que estava em r=1 e mover para r=2, então
I_{\text{novo}} = m\cdot 2^{2} + m\cdot 2^{2} = 8m,
ou seja, o momento de inércia aumentou (de 5m para 8m). Conclusão: mover massa para mais longe do eixo aumenta I.

Passo 3

Agora a relação entre momento de inércia e velocidade de rotação: momento angular.
Definição e conservação do momento angular: o momento angular de rotação em torno de um eixo é
L = I\,\omega,
onde \omega é a velocidade angular (em rad/s). Se não há torque externo significativo sobre o sistema (ou seja, não há forças que tragam um giro externo maior que atuem sobre a Terra como um todo no curto prazo), o momento angular L é conservado. Para a Terra em escala de derretimento de gelo, esta é a hipótese normalmente usada: praticamente nenhum torque externo muda L de forma relevante.
Se L é constante, então entre um estado inicial e um estado final vale
I_{i}\,\omega_{i}=I_{f}\,\omega_{f}.
Dessa igualdade podemos isolar \omega_{f}:
\omega_{f} = \omega_{i}\,\frac{I_{i}}{I_{f}}.
Interpretação imediata: se I_{f}>I_{i} (isto é, o momento de inércia aumenta), então \omega_{f}<\omega_{i}; a Terra gira mais devagar.

Passo 4

Ligando velocidade angular à duração do dia: o período de rotação T (duração do dia) está relacionado com \omega por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Usando a relação do passo anterior, o período final é
T_{f}=\frac{2\pi}{\omega_{f}}=\frac{2\pi}{\omega_{i}}\frac{I_{f}}{I_{i}}=T_{i}\,\frac{I_{f}}{I_{i}}.
Portanto, se I_{f}>I_{i} então T_{f}>T_{i}: o dia fica mais longo. Se I_{f}<I_{i} então T_{f}<T_{i}: o dia fica mais curto.
Resumo até aqui (sem números): derreter gelo das calotas desloca massa que estava perto do eixo para regiões mais afastadas do eixo → o momento de inércia aumenta → por conservação de L a velocidade angular diminui → o período T aumenta → o dia fica mais longo.

Passo 5

Vamos fazer uma estimativa rápida da ordem de grandeza (só para ter noção numérica), indicando que há incerteza nos valores usados.
Modelo grosseiro: suponha que uma massa total de gelo m_{\text{ice}} passe de uma posição muito próxima aos polos para se espalhar em média a uma distância da ordem do raio da Terra R. A variação aproximada do momento de inércia é
\Delta I \approx m_{\text{ice}}\,R^{2}.
O momento de inércia da Terra pode ser aproximado por
I_{\oplus}\approx k\,M_{\oplus}R^{2},
onde M_{\oplus} é a massa da Terra e k é um fator que para a Terra vale aproximadamente k\approx 0{,}33. Então a mudança relativa é
\frac{\Delta I}{I_{\oplus}}\approx \frac{m_{\text{ice}}\,R^{2}}{k\,M_{\oplus}R^{2}}=\frac{m_{\text{ice}}}{k\,M_{\oplus}}.
Tomando valores aproximados (nota: estes valores são apenas para ter uma ideia; pode haver incerteza):
m_{\text{ice}}\sim 3\times 10^{19}\\ \mathrm{kg},\qquad M_{\oplus}\sim 6\times 10^{24}\\ \mathrm{kg},\qquad k\sim 0{,}33.
Então
\frac{\Delta I}{I_{\oplus}}\approx \frac{3\times10^{19}}{0{,}33\times6\times10^{24}}\approx 1{,}5\times10^{-5}.
Isso significa que o dia aumentaria, em ordem de grandeza,
\Delta T \approx T\,\frac{\Delta I}{I_{\oplus}}\sim 86400\\ \mathrm{s}\times 1{,}5\times10^{-5}\approx 1{,}3\\ \mathrm{s}.
Aviso importante: estes números são uma estimativa muito grosseira — dependem fortemente de quanto gelo (valor de m_{\text{ice}}) e de como exatamente a água se redistribui (nem todo o gelo fica exatamente no equador; parte fica em oceanos com várias latitudes). Então o valor numérico pode variar bastante, mas o sinal (direção) do efeito é robusto: aumento de I → aumento de T.

Passo 6

Conclusão conceptual e resposta à pergunta de múltipla escolha: derreter todo o gelo desloca massa para distâncias médias maiores ao eixo de rotação, o que aumenta o momento de inércia. Pela conservação do momento angular, o aumento de I faz a velocidade angular diminuir e, consequentemente, a duração do dia aumentar. Portanto a opção correta é a que afirma que a duração do dia aumentará devido ao aumento do momento de inércia.

Resposta

a duração do dia aumentará devido ao aumento do momento de inércia

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