Q.
. Aquiles, o herói grego, e a tartaruga decidem apostar uma corrida. Como a velocidade de Aquiles é maior do que a da tartaruga, esta recebe uma vantagem, começando corrida 50 m na frente da linha de largada de Aquiles. Nesta corrida Aquiles nunca sobrepassa à tartaruga, pois quando ele chegar à posição inicial
da tartaruga, esta encontra-se um pouco mais a frente, numa outra posição
. Quando Aquiles chegar à nova posição
, a tartaruga não está mais lá, pois avançou para uma nova posição
, e assim sucessivamente, ad infinitum. Considerando o comprimento da tartaruga desprezível e o contexto da corrida, indique com a notação adequada de limites a tendência da distância entre Aquiles e a tartaruga à medida em que o tempo passar.
A distância entre a tartaruga e Aquiles, à medida em que o tempo decorre, tende a zero. Ou seja, não importa quanto tempo se passe, Aquiles nunca alcançará a tartaruga nem, portanto, poderá ultrapassá-la. Se
indicar a distância entre eles e
a variação do tempo, então
indicando que à medida em que o tempo passar, mais próximo da tartaruga estará Aquiles.
Passo 1
Resumindo o enunciado: Aquiles tem velocidade
maior que a da tartaruga
, e a tartaruga parte com uma vantagem de 50 m. Se chamarmos de
o tempo decorrido desde a largada e de
a distância entre Aquiles e a tartaruga nesse instante, queremos descrever o comportamento de
quando
cresce sem limite.
Passo 2
Do ponto de vista de limites, dizer que a distância vai ficando cada vez menor sem nunca se anular em tempo finito é afirmar que, para qualquer
, existe um instante
tal que, sempre que
, temos
Esse é o critério de que a distância tende a zero quando o tempo tende ao infinito.
Passo 3
Em linguagem de limite, a afirmação acima fica condensada em: