Ar a 100 c entra em um duto de seção quadrada de 125 mm de lado. Calcule a vazão volumétrica na qual o escoamento de torna turbulento e determine o comprimento de entrada necessário para estabelecer o escoamento plenamente desenvolvido.

Passo 1

O enunciado dá ar a 100\,^\circ\mathrm{C} entrando num duto quadrado de lado a=125\,\text{mm}. Precisamos achar a vazão volumétrica Q tal que o escoamento atinja o número de Reynolds crítico \mathrm{Re}_c=2300, e em seguida determinar o comprimento de entrada L_e para estabelecer escoamento plenamente desenvolvido em regime laminar.

Passo 2

Calculamos a viscosidade dinâmica do ar em T=100\,^\circ\mathrm{C}=373\,\mathrm{K} pela lei de Sutherland:
\mu = \mu_0\Bigl(\frac{T}{T_0}\Bigr)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S}
usando \mu_0=18{,}27\times10^{-6}\,\mathrm{Pa\cdot s}, T_0=291{,}15\,\mathrm{K} e S=120\,\mathrm{K}.
\mu = 18{,}27\times10^{-6}\Bigl(\frac{373}{291{,}15}\Bigr)^{3/2}\frac{411{,}15}{493} \approx22{,}1\times10^{-6}\,\mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 3

A densidade do ar em 1\,\mathrm{atm}=101325\,\mathrm{Pa} e 373\,\mathrm{K} vem da equação dos gases ideais:
\rho = \frac{p}{R\,T}
com R=287{,}05\,\mathrm{J/(kg\cdot K)}.
\rho = \frac{101325}{287{,}05\times373}\approx0{,}94\,\mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

A viscosidade cinemática é
\nu = \frac{\mu}{\rho} \approx\frac{22{,}1\times10^{-6}}{0{,}94} \approx23{,}5\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}.

Passo 5

Para duto quadrado o diâmetro hidráulico é
D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4a^2}{4a} = a = 0{,}125\,\mathrm{m}.
A velocidade crítica em que \mathrm{Re} = \mathrm{Re}_c é
U_c = \frac{\mathrm{Re}_c\,\nu}{D_h} = \frac{2300\times23{,}5\times10^{-6}}{0{,}125} \approx0{,}43\,\mathrm{m/s}.
Logo a vazão volumétrica crítica é
Q = U_c\,a^2 =0{,}43\times(0{,}125)^2 \approx6{,}8\times10^{-3}\,\mathrm{m^3/s}.

Passo 6

Em regime laminar o comprimento de entrada para escoamento plenamente desenvolvido satisfaz
\frac{L_e}{D_h}\approx0,05\,\mathrm{Re},
portanto, tomando \mathrm{Re}=2300,
L_e = 0,05\times2300\times0{,}125 \approx14{,}4\,\mathrm{m}.

Resposta

Vazão crítica Q\approx6,8\times10^{-3}\,\mathrm{m^3/s}.
Comprimento de entrada L_e\approx14{,}4\,\mathrm{m}.

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