Um sistema de bombeamento água opera com vazão de 20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Na tubulação de 50 m de comprimento e 60 mm de diâmetro a velocidade do fluido é igual a 1,96 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Na instalação Z_{1}=5 \mathrm{~m} e Z_{2}=25 \mathrm{~m}. A soma dos coeficientes de perda de carga, \mathrm{K}_{\mathrm{L}}, de todos os acessórios é igual a 13,55 \mathrm{~m}. A tubulação é de ferro galvanizado com rugosidade igual a 0,1 \mathrm{~mm}. Dados: \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{v}=1,15 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
Pede-se: (a) o modelo físico do mproblema (b) a altura adicionada pela bomba, \mathrm{H}_{\mathrm{M}} e (c) a potência de acionamento ( \mathrm{P}_{\mathrm{B}} ) considerando um rendimento de 65 \%.

Passo 1

O enunciado dá vazão Q=20\,\mathrm{m^3/h}=0,005556\,\mathrm{m^3/s}, comprimento da tubulação L=50\,\mathrm{m}, diâmetro D=60\,\mathrm{mm}=0,06\,\mathrm{m}, alturas Z_1=5\,\mathrm{m} e Z_2=25\,\mathrm{m}, perda local total K_L=13,55, densidade \rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}, viscosidade cinemática \nu=1,15\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s} e rendimento da bomba \eta=0,65.
O modelo físico é a equação de Bernoulli entre os pontos 1 (sucção) e 2 (recalque), incluindo a altura adicionada pela bomba H_M e as perdas de carga h_L:
\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+Z_1+H_M = \frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+Z_2+h_L.
Como as extremidades estão à mesma pressão atmosférica ( p_1=p_2) e a tubulação é constante ( v_1=v_2), simplifica-se para
H_M = Z_2 - Z_1 + h_L.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds e o fator de atrito. A velocidade é
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,005556}{\frac{\pi D^2}{4}}=1,96\,\mathrm{m/s}.
Logo
Re=\frac{vD}{\nu}\approx\frac{1,96\times0,06}{1,15\times10^{-6}}\approx1,02\times10^{5}.
A rugosidade relativa é
\frac{e}{D}=\frac{0,0001}{0,06}\approx0,001667.
Usando iteração na equação de Colebrook–White, obtém-se
f\approx0,0242.

Passo 3

Calcular as perdas de carga por atrito e locais. A perda por atrito é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g} =0,0242\;\frac{50}{0,06}\;\frac{1,96^2}{2\times9,81} \approx3,95\,\mathrm{m}.
A perda local total é
h_k =K_L\,\frac{v^2}{2g} =13,55\times\frac{1,96^2}{2\times9,81} \approx2,66\,\mathrm{m}.
Portanto
h_L = h_f + h_k \approx 3,95 + 2,66 = 6,61\,\mathrm{m}.

Passo 4

Substituindo em H_M = Z_2 - Z_1 + h_L, vem
H_M = 25 - 5 + 6,61 = 26,61\,\mathrm{m}.

Passo 5

A potência de acionamento da bomba é
P_B = \frac{\rho\,g\,Q\,H_M}{\eta} = \frac{1000\times9,81\times0,005556\times26,61}{0,65} \approx2232\,\mathrm{W}.

Resposta

(a) Modelo físico:
\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+Z_1+H_M = \frac{p_2}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+Z_2+h_L,
com H_M=Z_2-Z_1+h_L.
(b) H_M\approx26,6\,\mathrm{m}.
(c) P_B\approx2,23\,\mathrm{kW}.

Exercícios relacionados