Ar=-mu04 pi q omega ellr cos theta sin [omega(t-r / c)], Atheta=mu04 pi q omega ellr sin theta sin [omega(t-r / c)], Avarphi=0
Como B=nabla times A, obtenha o campo magnético da radiação emitida pelo dipolo. Mostre que a única componente não-nula de B é Bvarphi.

Passo 1

Beleza, o enunciado dá o potencial vetorial em coordenadas esféricas:
Ar=-mu04pi,qomegaellrcostheta;sinl[omega(t-tfrac r c)r], Atheta=mu04pi,qomegaellrsintheta;sinl[omega(t-tfrac r c)r], Avarphi=0
E a matéria é Eletromagnetismo, mais precisamente cálculo de rotacional em coordenadas esféricas. Para resolver a gente vai usar a fórmula do rotacional
B=nablatimesA
em coordenadas esféricas, e ver quais componentes aparecem e quais ficam zero.

Passo 2

A gente lembra que, em esférico, as componentes do rotacional são:
(nablatimes A)r =dfrac1rsinthetal[partialtheta(Avarphisintheta)-partialvarphi Athetar],[6pt] (nablatimes A)theta =dfrac1rl[dfrac1sintheta,partialvarphi Ar-partialr(rAvarphi)r],[6pt] (nablatimes A)varphi =dfrac1rl[partialr(rAtheta)-partialtheta Arr]
Como Br=(nablatimes A)r=0, Btheta=(nablatimes A)theta=0 e não dependem de , dá:
Só sobra a componente .

Passo 3

Vamos calcular
Bvarphi=1rl[partialr(rAtheta)-partialtheta Arr]
  1. r Aθ = partialr(rAtheta) =mu04piqomegaell,sintheta;cosl[omega(t-tfrac r c)r];partialpartial rl[omega(t-tfrac r c)r] =-mu04pi,qomega^2ellc,sintheta;cosl[omega(t-tfrac r c)r] .
    Então =-mu04pi,qomegaellr,(-sintheta),sinl[omega(t-tfrac r c)r] =mu04pi,qomegaellr,sintheta;sinl[omega(t-tfrac r c)r]
  2. ∂θ Ar = ∂θ  Bvarphi =1rl[-mu04pi,qomega^2ellc,sinthetacosl[omega(t-tfrac r c)r] ;-;mu04pi,qomegaellr,sinthetasinl[omega(t-tfrac r c)r]r]
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Passo 4

Na zona de radiação ( Bvarphiapprox -mu04pi,qomega^2ellc,r,sintheta;cosl[omega(t-tfrac r c)r] ) o termo é desprezível. Fica só o que varia como :

Resposta

A única componente não-nula do campo magnético de radiação é
boxed Bvarphi =-mu04pi,q,omega^2,ellc,r,sintheta;cos!l[omega(t-tfrac r c)r],
e .

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