Como , obtenha o campo magnético da radiação emitida pelo dipolo. Mostre que a única componente não-nula de é .
Passo 1
Beleza, o enunciado dá o potencial vetorial em coordenadas esféricas:
E a matéria é Eletromagnetismo, mais precisamente cálculo de rotacional em coordenadas esféricas. Para resolver a gente vai usar a fórmula do rotacional
em coordenadas esféricas, e ver quais componentes aparecem e quais ficam zero.
Passo 2
A gente lembra que, em esférico, as componentes do rotacional são:
Como Br=(nablatimes A)r=0, Btheta=(nablatimes A)theta=0 e não dependem de , dá:
Só sobra a componente .
Passo 3
Vamos calcular
Bvarphi=1rl[partialr(rAtheta)-partialtheta Arr]
r Aθ = partialr(rAtheta) =mu04piqomegaell,sintheta;cosl[omega(t-tfrac r c)r];partialpartial rl[omega(t-tfrac r c)r] =-mu04pi,qomega^2ellc,sintheta;cosl[omega(t-tfrac r c)r] .
Então =-mu04pi,qomegaellr,(-sintheta),sinl[omega(t-tfrac r c)r] =mu04pi,qomegaellr,sintheta;sinl[omega(t-tfrac r c)r]
∂θ Ar = ∂θ Bvarphi =1rl[-mu04pi,qomega^2ellc,sinthetacosl[omega(t-tfrac r c)r] ;-;mu04pi,qomegaellr,sinthetasinl[omega(t-tfrac r c)r]r]
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Passo 4
Na zona de radiação ( Bvarphiapprox -mu04pi,qomega^2ellc,r,sintheta;cosl[omega(t-tfrac r c)r] ) o termo é desprezível. Fica só o que varia como :
Resposta
A única componente não-nula do campo magnético de radiação é
boxed Bvarphi =-mu04pi,q,omega^2,ellc,r,sintheta;cos!l[omega(t-tfrac r c)r],