Extendendo o resultado anterior para quatro vetores em
, ou seja,
, mostre que, nesse caso, os vetores
partem da mesma origem e terminam no mesmo plano.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é a seguinte: temos quatro vetores
em
e números
tais que
-
, -
.
O que queremos mostrar é que esses quatro vetores (imagine-os como pontos saindo da mesma origem) terminam todos num mesmo plano.
Conteúdo: combinação linear, dependência afim e caracterização de pontos coplanares. Vamos usar a ideia de reescrever a soma em termos de “vetores diferença” e aplicar dependência linear.
Passo 2
Como
, podemos escolher um dos vetores – por exemplo
– e escrever cada
como
.
Substituindo em
, temos
Substituindo em
Mas
, então o segundo termo some, e sobra
Passo 3
Note que quando
,
, então a soma efetivamente fica só com
:
Isso é uma relação de dependência linear entre os três vetores
.
Passo 4
Em
, se três vetores são linearmente dependentes, eles estão contidos num subespaço de dimensão no máximo 2 — ou seja, num plano através da origem. Logo
ficam todas num mesmo plano que passa pela origem.
ficam todas num mesmo plano que passa pela origem.
Passo 5
Se esses três vetores‐diferença estão num mesmo plano que tem a origem como ponto, então os pontos
estão todos num plano paralelo a esse (é só “deslocar” esse plano para passar por ). Como
também pertence a esse plano deslocado, concluímos que
são coplanares.
estão todos num plano paralelo a esse (é só “deslocar” esse plano para passar por
são coplanares.
Resposta
Os quatros vetores
partem da mesma origem e terminam num mesmo plano, pois a condição
com
implica que
são linearmente dependentes em , garantindo a coplanaridade dos quatro pontos.
são linearmente dependentes em