Extendendo o resultado anterior para quatro vetores em d=3, ou seja, sumj=1^4 aj Aj= 0, com sumj=1^4 aj=0, mostre que, nesse caso, os vetores Aj partem da mesma origem e terminam no mesmo plano.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é a seguinte: temos quatro vetores em e números tais que
  1. ,
  2. .
    O que queremos mostrar é que esses quatro vetores (imagine-os como pontos saindo da mesma origem) terminam todos num mesmo plano.
    Conteúdo: combinação linear, dependência afim e caracterização de pontos coplanares. Vamos usar a ideia de reescrever a soma em termos de “vetores diferença” e aplicar dependência linear.

Passo 2

Como sumj=1^4 ajl[(Aj - A4)+A4r] = sumj=1^4 aj(Aj - A4) ;+;l(sumj=1^4 ajr)A4 =0 , podemos escolher um dos vetores – por exemplo sumj=1^4 aj,(Aj - A4)=0 – e escrever cada como
.
Substituindo em
, temos
Mas , então o segundo termo some, e sobra

Passo 3

Note que quando a1(A1 - A4) + a2(A2 - A4) + a3(A3 - A4) = 0 , , então a soma efetivamente fica só com :
Isso é uma relação de dependência linear entre os três vetores
.

Passo 4

Em , se três vetores são linearmente dependentes, eles estão contidos num subespaço de dimensão no máximo 2 — ou seja, num plano através da origem. Logo

ficam todas num mesmo plano que passa pela origem.

Passo 5

Se esses três vetores‐diferença estão num mesmo plano que tem a origem como ponto, então os pontos

estão todos num plano paralelo a esse (é só “deslocar” esse plano para passar por ). Como também pertence a esse plano deslocado, concluímos que

são coplanares.

Resposta

Os quatros vetores partem da mesma origem e terminam num mesmo plano, pois a condição
com implica que

são linearmente dependentes em , garantindo a coplanaridade dos quatro pontos.

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