Um objeto percorre uma trajetória retilínea de acordo com a função horária, onde x está em metros e t em segundos. (2,0 pontos).
x=4 t^3+2 t^2-5 t+30
Determine:
c) a velocidade instantânea em t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto que está se movendo em linha reta, e a posição dele em função do tempo é dada pela função $ x(t) = 4t^3 + 2t^2 - 5t + 30 $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade instantânea desse objeto no exato momento de $ t = 2 $ segundos. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a velocidade a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos, isso significa que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da função de posição $ x(t) $ em relação a $ t $. Ou seja:
v(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular essa derivada. A função que temos é:
x(t) = 4t^3 + 2t^2 - 5t + 30
Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de $ 4t^3 $ é $ 12t^2 $.
  • A derivada de $ 2t^2 $ é $ 4t $.
  • A derivada de $ -5t $ é $ -5 $.
  • A derivada de $ 30 $ (que é uma constante) é $ 0 $.
Juntando tudo, a velocidade em função do tempo fica:
4t^3

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade $ v(t) $, vamos calcular a velocidade instantânea no instante $ t = 2 $ segundos. Basta substituir $ t $ por $ 2 $ na equação:
v(t)
Calculando cada parte:
t = 2
Então:
t

Resposta

A velocidade instantânea no instante $ t = 2 $ segundos é de 51 metros por segundo.

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