Um objeto percorre uma trajetória retilínea de acordo com a função horária, onde
está em metros e t em segundos. (2,0 pontos).
Determine:
c) a velocidade instantânea em
.
c) a velocidade instantânea em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto que está se movendo em linha reta, e a posição dele em função do tempo é dada pela função $ x(t) = 4t^3 + 2t^2 - 5t + 30 $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade instantânea desse objeto no exato momento de $ t = 2 $ segundos. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a velocidade a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos, isso significa que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da função de posição $ x(t) $ em relação a $ t $. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa derivada. A função que temos é:
Vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de $ 4t^3 $ é $ 12t^2 $.
- A derivada de $ 2t^2 $ é $ 4t $.
- A derivada de $ -5t $ é $ -5 $.
- A derivada de $ 30 $ (que é uma constante) é $ 0 $.
Juntando tudo, a velocidade em função do tempo fica:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade $ v(t) $, vamos calcular a velocidade instantânea no instante $ t = 2 $ segundos. Basta substituir $ t $ por $ 2 $ na equação:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
A velocidade instantânea no instante $ t = 2 $ segundos é de 51 metros por segundo.