Um arame de 20 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um para formar um quadrado e outro para formar um triângulo equilátero. Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja:
mínima.
mínima.
Passo 1
O enunciado dá que um arame de comprimento
será cortado em dois pedaços. Um pedaço será usado para formar um quadrado e o outro para formar um triângulo equilátero. O que é pedido:
- Determinar como cortar o arame (ou seja, quanto de comprimento destinar ao quadrado e quanto ao triângulo) de modo que a soma das áreas das duas figuras seja mínima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Comprimento total do arame:
. - Um pedaço de comprimento
será usado para o quadrado (essa é a escolha de variável que faremos). - O outro pedaço terá comprimento
e será usado para o triângulo equilátero. - Queremos minimizar a função “área total” em função de
.
Passo 2
Escolher variável e escrever as áreas em função dessa variável.
Definimos
como o comprimento do arame usado para formar o quadrado. Então o comprimento usado no triângulo é
.
Agora expressar a área do quadrado em função de
.
- Se um quadrado é feito com perímetro
, o lado do quadrado vale
- A área do quadrado é lado ao quadrado:
Aqui expliquei cada passo: o perímetro de um quadrado é
vezes o lado, por isso
. A área é
.
Passo 3
Expressar a área do triângulo equilátero em função de
.
- O perímetro do triângulo é
. Como é equilátero, cada lado vale
- A área de um triângulo equilátero de lado
é dada por
Breve derivação dessa fórmula (para lembrar): cortar o triângulo ao meio gera dois triângulos retângulos com catetos
e a altura
. Pela relação de Pitágoras,
Então a área é
.
- Substituindo
obtemos
Passo 4
Montar a função objetivo (área total) e o domínio da variável.
A área total em função de
é
Domínio:
corresponde a um comprimento de fio usado para o quadrado, logo
.
Nosso objetivo é encontrar o valor de
no intervalo
que minimiza
.
Passo 5
Aplicar cálculo (derivada) para encontrar candidatos a mínimo.
Para encontrar extremos locais, calculamos a derivada de
:
Calcule cada termo:
Para o segundo termo use a regra da cadeia:
Portanto
Passo 6
Encontrar o ponto crítico resolvendo
.
Resolver
Multiplicando ambos os lados por
(para eliminar denominadores) obtemos
Desenvolvendo,
Juntando os termos com
,
Logo
Podemos simplificar esta expressão multiplicando numerador e denominador por
(racionalizando o denominador):
Para um número mais palpável, o valor numérico é
Passo 7
Verificar que o ponto crítico é mínimo (segunda derivada).
Calcular a segunda derivada:
Esse valor é positivo porque
e
. Assim
para todo
, então a função é convexa e o ponto crítico encontrado é um mínimo global no intervalo
.
Passo 8
Interpretar a solução: quanto cortar para cada figura.
- O comprimento a ser usado para formar o quadrado é
- O comprimento restante, para o triângulo equilátero, é
Em palavras: cortar o arame de forma que cerca de
formem o quadrado e os cerca de
restantes formem o triângulo equilátero.
Resposta
Cortar
para o quadrado.
Cortar para o triângulo equilátero.
Cortar