Um arame de 20 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um para formar um quadrado e outro para formar um triângulo equilátero. Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja:
mínima.

Passo 1

O enunciado dá que um arame de comprimento 20\\ \text{cm} será cortado em dois pedaços. Um pedaço será usado para formar um quadrado e o outro para formar um triângulo equilátero. O que é pedido:
  • Determinar como cortar o arame (ou seja, quanto de comprimento destinar ao quadrado e quanto ao triângulo) de modo que a soma das áreas das duas figuras seja mínima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Comprimento total do arame: 20\\ \text{cm}.
  • Um pedaço de comprimento x será usado para o quadrado (essa é a escolha de variável que faremos).
  • O outro pedaço terá comprimento 20-x e será usado para o triângulo equilátero.
  • Queremos minimizar a função “área total” em função de x.

Passo 2

Escolher variável e escrever as áreas em função dessa variável.
Definimos x como o comprimento do arame usado para formar o quadrado. Então o comprimento usado no triângulo é 20-x.
Agora expressar a área do quadrado em função de x.
  • Se um quadrado é feito com perímetro x, o lado do quadrado vale
s = \frac{x}{4}.
  • A área do quadrado é lado ao quadrado:
A_{\text{quad}} = s^2 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}.
Aqui expliquei cada passo: o perímetro de um quadrado é 4 vezes o lado, por isso s=x/4. A área é s^2.

Passo 3

Expressar a área do triângulo equilátero em função de x.
  • O perímetro do triângulo é 20-x. Como é equilátero, cada lado vale
a = \frac{20-x}{3}.
  • A área de um triângulo equilátero de lado a é dada por
A_{\text{tri}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.
Breve derivação dessa fórmula (para lembrar): cortar o triângulo ao meio gera dois triângulos retângulos com catetos \tfrac{a}{2} e a altura h. Pela relação de Pitágoras,
h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a.
Então a área é \tfrac{1}{2}\times a \times h = \tfrac{1}{2} a \times \tfrac{\sqrt{3}}{2} a = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2.
  • Substituindo a=\dfrac{20-x}{3} obtemos
A_{\text{tri}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{20-x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36}\,(20-x)^2.

Passo 4

Montar a função objetivo (área total) e o domínio da variável.
A área total em função de x é
A(x) = A_{\text{quad}} + A_{\text{tri}} = \frac{x^2}{16} + \frac{\sqrt{3}}{36}\,(20-x)^2.
Domínio: x corresponde a um comprimento de fio usado para o quadrado, logo 0\le x\le20.
Nosso objetivo é encontrar o valor de x no intervalo [0,20] que minimiza A(x).

Passo 5

Aplicar cálculo (derivada) para encontrar candidatos a mínimo.
Para encontrar extremos locais, calculamos a derivada de A(x):
A'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{16}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{3}}{36}(20-x)^2\right).
Calcule cada termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{16}\right)=\frac{2x}{16}=\frac{x}{8}.
Para o segundo termo use a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{3}}{36}(20-x)^2\right)=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot 2(20-x)\cdot(-1)=-\frac{\sqrt{3}}{18}(20-x).
Portanto
A'(x)=\frac{x}{8}-\frac{\sqrt{3}}{18}(20-x).

Passo 6

Encontrar o ponto crítico resolvendo A'(x)=0.
Resolver
\frac{x}{8}=\frac{\sqrt{3}}{18}(20-x).
Multiplicando ambos os lados por 72 (para eliminar denominadores) obtemos
9x = 4\sqrt{3}\,(20-x).
Desenvolvendo,
9x = 80\sqrt{3} - 4\sqrt{3}\,x.
Juntando os termos com x,
x\,(9 + 4\sqrt{3}) = 80\sqrt{3}.
Logo
x = \frac{80\sqrt{3}}{9 + 4\sqrt{3}}.
Podemos simplificar esta expressão multiplicando numerador e denominador por 9 - 4\sqrt{3} (racionalizando o denominador):
x = \frac{80\sqrt{3}(9 - 4\sqrt{3})}{(9+4\sqrt{3})(9-4\sqrt{3})} = \frac{720\sqrt{3} - 960}{33} = \frac{240\sqrt{3} - 320}{11}.
Para um número mais palpável, o valor numérico é
x \approx 8{,}699290355\\ \text{cm}.

Passo 7

Verificar que o ponto crítico é mínimo (segunda derivada).
Calcular a segunda derivada:
A''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{8}-\frac{\sqrt{3}}{18}(20-x)\right)=\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{3}}{18}.
Esse valor é positivo porque \tfrac{1}{8}>0 e \tfrac{\sqrt{3}}{18}>0. Assim A''(x)>0 para todo x, então a função é convexa e o ponto crítico encontrado é um mínimo global no intervalo [0,20].

Passo 8

Interpretar a solução: quanto cortar para cada figura.
  • O comprimento a ser usado para formar o quadrado é
x = \frac{240\sqrt{3}-320}{11}\\ \text{cm}\approx 8{,}699\\ \text{cm}.
  • O comprimento restante, para o triângulo equilátero, é
20-x = \frac{540-240\sqrt{3}}{11}\\ \text{cm}\approx 11{,}301\\ \text{cm}.
Em palavras: cortar o arame de forma que cerca de 8{,}699\\ \text{cm} formem o quadrado e os cerca de 11{,}301\\ \text{cm} restantes formem o triângulo equilátero.

Resposta

Cortar x=\dfrac{240\sqrt{3}-320}{11}\\ \text{cm}\approx 8{,}699\\ \text{cm} para o quadrado.
Cortar 20-x=\dfrac{540-240\sqrt{3}}{11}\\ \text{cm}\approx 11{,}301\\ \text{cm} para o triângulo equilátero.

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