Encontre o ponto da reta de equação y=3 x+4 mais próximo do ponto (1,2). Qual é a distância mínima?

Passo 1

O enunciado dá a reta y=3x+4 e o ponto (1,2). Pede duas coisas:
  • encontrar o ponto da reta y=3x+4 que está mais próximo de (1,2);
  • calcular a distância mínima entre esse ponto da reta e (1,2).
Informações dadas que vamos usar:
  • equação da reta: y=3x+4;
  • ponto fora da reta: P=(1,2).

Passo 2

Ideia principal (explicadinha): o ponto da reta mais próximo de um ponto exterior é o pé da perpendicular traçada do ponto até a reta. Em outras palavras, se traçarmos a reta que passa por P e é perpendicular à reta dada, o ponto de interseção entre essas duas retas é o ponto da reta mais próximo de P.
Por que isso? Porque, geometricamente, qualquer segmento que ligue P a um ponto Q da reta terá comprimento maior ou igual ao comprimento do segmento perpendicular — deslocando Q ao longo da reta o comprimento do segmento só aumenta, e o mínimo ocorre quando o segmento é perpendicular. (Se preferir, isso também pode ser mostrado minimizando a distância ao longo da reta — farei isso como verificação depois.)

Passo 3

Primeiro vamos achar a inclinação (coeficiente angular) da reta dada e a da perpendicular.
  • A reta dada é y=3x+4. Então o coeficiente angular é m=3.
  • A reta perpendicular a uma reta de coeficiente m tem coeficiente m_{\perp} tal que m\cdot m_{\perp}=-1. Isso vem da propriedade de ângulos retos em coordenadas (produtos dos declives = -1).
    Portanto m_{\perp}=-\frac{1}{3}.
Agora escrevemos a equação da reta que passa por P=(1,2) e tem coeficiente m_{\perp}. Usando a forma ponto-declive:
y-2 = -\frac{1}{3}\,(x-1).
Podemos arrumar essa equação para comparar com y=3x+4. Somando 2 e desenvolvendo:
y = 2 -\frac{1}{3}(x-1) = 2 -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} - \frac{1}{3}x.

Passo 4

Agora encontramos a interseção entre a reta original y=3x+4 e a perpendicular y=\dfrac{7}{3}-\dfrac{1}{3}x. Igualamos as duas expressões para y:
3x+4 = \frac{7}{3} - \frac{1}{3}x.
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar denominadores:
9x + 12 = 7 - x.
Passando termos:
9x + x = 7 - 12 \quad\Rightarrow\quad 10x = -5.
Logo
x = -\frac{1}{2}.
Substituindo em y=3x+4:
y = 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 4 = -\frac{3}{2} + 4 = \frac{5}{2}.
Portanto o pé da perpendicular (o ponto da reta mais próximo de P) é
Q=\left(-\frac{1}{2},\\ \frac{5}{2}\right).

Passo 5

Agora calculamos a distância entre P=(1,2) e Q=\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2}\right).
A fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Aplicando aqui:
\Delta x = -\frac{1}{2}-1 = -\frac{3}{2},\qquad \Delta y = \frac{5}{2}-2 = \frac{1}{2}.
Então
d = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): parametrizamos um ponto genérico da reta por X=(x,3x+4) e minimizamos a função distância ao quadrado
f(x)=(x-1)^2+(3x+4-2)^2=(x-1)^2+(3x+2)^2.
Derivando para encontrar mínimo:
f'(x)=2(x-1)+2(3x+2)\cdot 3 = 2(x-1)+6(3x+2).
Calculando:
f'(x)=2x-2+18x+12=20x+10.
Igualando a zero:
20x+10=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2},
o que dá o mesmo x encontrado antes e, consequentemente, o mesmo ponto Q e mesma distância. Boa confirmação!

Resposta

O ponto mais próximo é \left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2}\right).
A distância mínima é \dfrac{\sqrt{10}}{2}.

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