Encontre o ponto da reta de equação
mais próximo do ponto
. Qual é a distância mínima?
Passo 1
O enunciado dá a reta
e o ponto
. Pede duas coisas:
- encontrar o ponto da reta
que está mais próximo de ; - calcular a distância mínima entre esse ponto da reta e
.
Informações dadas que vamos usar:
- equação da reta:
; - ponto fora da reta:
.
Passo 2
Ideia principal (explicadinha): o ponto da reta mais próximo de um ponto exterior é o pé da perpendicular traçada do ponto até a reta. Em outras palavras, se traçarmos a reta que passa por
e é perpendicular à reta dada, o ponto de interseção entre essas duas retas é o ponto da reta mais próximo de
.
Por que isso? Porque, geometricamente, qualquer segmento que ligue
a um ponto
da reta terá comprimento maior ou igual ao comprimento do segmento perpendicular — deslocando
ao longo da reta o comprimento do segmento só aumenta, e o mínimo ocorre quando o segmento é perpendicular. (Se preferir, isso também pode ser mostrado minimizando a distância ao longo da reta — farei isso como verificação depois.)
Passo 3
Primeiro vamos achar a inclinação (coeficiente angular) da reta dada e a da perpendicular.
- A reta dada é
. Então o coeficiente angular é . - A reta perpendicular a uma reta de coeficiente
tem coeficiente tal que . Isso vem da propriedade de ângulos retos em coordenadas (produtos dos declives = ).
Portanto
Agora escrevemos a equação da reta que passa por
e tem coeficiente
. Usando a forma ponto-declive:
Podemos arrumar essa equação para comparar com
. Somando
e desenvolvendo:
Passo 4
Agora encontramos a interseção entre a reta original
e a perpendicular
. Igualamos as duas expressões para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Passando termos:
Logo
Substituindo em
:
Portanto o pé da perpendicular (o ponto da reta mais próximo de
) é
Passo 5
Agora calculamos a distância entre
e
.
A fórmula da distância entre dois pontos
e
é
Aplicando aqui:
Então
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): parametrizamos um ponto genérico da reta por
e minimizamos a função distância ao quadrado
Derivando para encontrar mínimo:
Calculando:
Igualando a zero:
o que dá o mesmo
encontrado antes e, consequentemente, o mesmo ponto
e mesma distância. Boa confirmação!
Resposta
O ponto mais próximo é
.
A distância mínima é .
A distância mínima é