Um fazendeiro tem 950 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está a margem de um rio reto. Ele não precisa cercar a margem do rio. Quais as dimensões do campo que tem maior área?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • O fazendeiro tem 950\\ \mathrm{m} de cerca disponível.
  • O campo é retangular e está com um lado ao longo de um rio reto; isso significa que a margem do rio não precisa ser cercada.
  • Pede-se: quais são as dimensões do retângulo que maximizam a área usando os 950\\ \mathrm{m} de cerca?

Passo 2

Definimos variáveis para traduzir a situação em equações (sempre bom começar assim para não se perder):
  • Seja x o comprimento dos lados perpendiculares ao rio (ou seja, a “largura” do retângulo). Há dois desses lados.
  • Seja y o comprimento do lado paralelo ao rio que será cercado (o lado oposto ao rio). Há apenas um desse lado porque o lado no rio não é cercado.
Com isso, pelo uso da cerca, a soma das partes cercadas é
2x + y = 950.
Expliquei: os dois lados de comprimento x e o lado de comprimento y são as partes que consomem cerca.

Passo 3

A área do retângulo é
A = x\cdot y.
Queremos maximizar A sujeita à restrição 2x + y = 950. Podemos eliminar y usando a restrição:
y = 950 - 2x.
Substituindo na área obtenho uma função de uma variável:
A(x) = x(950 - 2x) = 950x - 2x^2.

Passo 4

Antes de otimizar, é importante ver o domínio possível de x. Como y\ge 0,
950 - 2x \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \le 475.
Também x\ge 0. Logo x varia em [0,\,475].
Agora vamos maximizar A(x)=950x-2x^2. Esta é uma parábola com coeficiente de x^2 negativo (coeficiente -2), portanto abre para baixo e tem um único máximo (o vértice). Uma forma elementar de achar o vértice sem cálculo é completar o quadrado.

Passo 5

Completar o quadrado para A(x):
A(x)= -2\left(x^2 - 475x\right).
Escreve-se x^2 -475x como (x - 237{,}5)^2 - (237{,}5)^2 porque 237{,}5 = \dfrac{475}{2}. Substituindo:
A(x)= -2\Big((x - 237{,}5)^2 - (237{,}5)^2\Big)= -2(x - 237{,}5)^2 + 2(237{,}5)^2.
Dessa forma fica claro: o termo -2(x-237{,}5)^2 é sempre \le 0, então A(x) atinge o máximo quando esse termo é zero, ou seja, quando
x = 237{,}5\\ \mathrm{m}.
(Essa é a abscissa do vértice da parábola.)

Passo 6

Com x = 237{,}5\\ \mathrm{m} calculamos y pela restrição:
y = 950 - 2\cdot 237{,}5 = 950 - 475 = 475\\ \mathrm{m}.
Também é útil calcular a área máxima para verificação. Note que 237{,}5 = \dfrac{475}{2}, então
A_{\max} = x\cdot y = \frac{475}{2}\cdot 475 = \frac{475^2}{2} = \frac{225625}{2} = 112812{,}5\\ \mathrm{m}^2.

Passo 7

Verificação rápida das extremidades do intervalo: em x=0 ou em x=475 a área é zero, portanto o máximo interior encontrado em x=237{,}5 é consistente e é de fato o máximo global no intervalo viável.

Resposta

x = 237{,}5\\ \mathrm{m} (lados perpendiculares ao rio)
y = 475\\ \mathrm{m} (lado paralelo ao rio)

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