Um fazendeiro tem
de cerca e quer cercar um campo retangular que está a margem de um rio reto. Ele não precisa cercar a margem do rio. Quais as dimensões do campo que tem maior área?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- O fazendeiro tem
de cerca disponível. - O campo é retangular e está com um lado ao longo de um rio reto; isso significa que a margem do rio não precisa ser cercada.
- Pede-se: quais são as dimensões do retângulo que maximizam a área usando os
de cerca?
Passo 2
Definimos variáveis para traduzir a situação em equações (sempre bom começar assim para não se perder):
- Seja
o comprimento dos lados perpendiculares ao rio (ou seja, a “largura” do retângulo). Há dois desses lados. - Seja
o comprimento do lado paralelo ao rio que será cercado (o lado oposto ao rio). Há apenas um desse lado porque o lado no rio não é cercado.
Com isso, pelo uso da cerca, a soma das partes cercadas é
Expliquei: os dois lados de comprimento
e o lado de comprimento
são as partes que consomem cerca.
Passo 3
A área do retângulo é
Queremos maximizar
sujeita à restrição
. Podemos eliminar
usando a restrição:
Substituindo na área obtenho uma função de uma variável:
Passo 4
Antes de otimizar, é importante ver o domínio possível de
. Como
,
Também
. Logo
varia em
.
Agora vamos maximizar
. Esta é uma parábola com coeficiente de
negativo (coeficiente
), portanto abre para baixo e tem um único máximo (o vértice). Uma forma elementar de achar o vértice sem cálculo é completar o quadrado.
Passo 5
Completar o quadrado para
:
Escreve-se
como
porque
. Substituindo:
Dessa forma fica claro: o termo
é sempre
, então
atinge o máximo quando esse termo é zero, ou seja, quando
(Essa é a abscissa do vértice da parábola.)
Passo 6
Com
calculamos
pela restrição:
Também é útil calcular a área máxima para verificação. Note que
, então
Passo 7
Verificação rápida das extremidades do intervalo: em
ou em
a área é zero, portanto o máximo interior encontrado em
é consistente e é de fato o máximo global no intervalo viável.