João irá construir um jardim retangular cercado cuja a área é de
. A cerca que será utilizada é composta por quatro fios esticados horizontalmente presos por mourões fixados nos vértices do retângulo. Quais são as dimensões desse jardim para que seja utilizado a menor quantidade de fio possível?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Informação: a área do jardim retangular é
. - Informação: a cerca é composta por quatro fios esticados presos nos quatro mourões nos vértices do retângulo. (Isso significa que cada fio percorre todo o perímetro do retângulo, então o comprimento total de fio necessário é quatro vezes o perímetro.)
- Pedido: determinar as dimensões do retângulo (comprimento e largura) para que a quantidade total de fio utilizada seja a menor possível.
Resumo do que precisamos achar: os valores de comprimento e largura do retângulo que minimizam o comprimento total de fio, dado que
.
Passo 2
Vamos definir variáveis simples para modelar o problema.
- Seja
o comprimento de um lado do retângulo (em metros). - Seja
o comprimento do outro lado (em metros).
A área é dada por
O perímetro do retângulo é
Como há quatro fios que percorrem o perímetro inteiro, o comprimento total de fio é
Para minimizar
basta minimizar
(porque o fator
é constante e positivo). Assim o problema reduz-se a: minimizar
sujeitando a restrição
.
Passo 3
Usamos a restrição para escrever uma única variável.
Da restrição
onde
e
porque são comprimentos.
Substituindo em
obtemos a função que queremos minimizar:
Agora vamos analisar
. Mostrar passo a passo como derivar e achar extremo:
- Derivada: calcular
.
Passo 4
Encontrar candidatos a extremo resolvendo
.
Como
, temos
Usando a restrição
,
Passo 5
Verificar que este ponto é mínimo (não máximo).
Calculamos a segunda derivada:
Para
temos
. Em particular
. Portanto
dá um mínimo local de
. Como
quando
ou
, esse é o mínimo global.
Comentário intuitivo (sem cálculo): pela simetria do problema e pela desigualdade AM-GM, para produto fixo
a soma
é minimizada quando
. Aplicando AM-GM:
logo
com igualdade quando
. Isso confirma o resultado.
Passo 6
Interpretação prática e conclusão: o retângulo que minimiza o comprimento total de fio, sujeito à área fixa de
, é o quadrado com lados de
. Nesse caso o perímetro é
e o comprimento total de fio (quatro fios ao redor do perímetro) é
.