João irá construir um jardim retangular cercado cuja a área é de 100 \mathrm{~m}^{2}. A cerca que será utilizada é composta por quatro fios esticados horizontalmente presos por mourões fixados nos vértices do retângulo. Quais são as dimensões desse jardim para que seja utilizado a menor quantidade de fio possível?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação: a área do jardim retangular é \,100\\ \mathrm{m}^2.
  • Informação: a cerca é composta por quatro fios esticados presos nos quatro mourões nos vértices do retângulo. (Isso significa que cada fio percorre todo o perímetro do retângulo, então o comprimento total de fio necessário é quatro vezes o perímetro.)
  • Pedido: determinar as dimensões do retângulo (comprimento e largura) para que a quantidade total de fio utilizada seja a menor possível.
Resumo do que precisamos achar: os valores de comprimento e largura do retângulo que minimizam o comprimento total de fio, dado que \text{área}=100\\ \mathrm{m}^2á.

Passo 2

Vamos definir variáveis simples para modelar o problema.
  • Seja \,x o comprimento de um lado do retângulo (em metros).
  • Seja \,y o comprimento do outro lado (em metros).
A área é dada por
x y = 100.
O perímetro do retângulo é
P = 2(x+y).
Como há quatro fios que percorrem o perímetro inteiro, o comprimento total de fio é
L_{\text{total}} = 4P = 4\cdot 2(x+y)=8(x+y).
Para minimizar \,L_{\text{total}} basta minimizar x+y (porque o fator 8 é constante e positivo). Assim o problema reduz-se a: minimizar x+y sujeitando a restrição x y = 100.

Passo 3

Usamos a restrição para escrever uma única variável.
Da restrição
y=\frac{100}{x},
onde x>0 e y>0 porque são comprimentos.
Substituindo em x+y obtemos a função que queremos minimizar:
f(x)=x+y=x+\frac{100}{x},\qquad x>0.
Agora vamos analisar f(x). Mostrar passo a passo como derivar e achar extremo:
  • Derivada: calcular f'(x).
f'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(x+\frac{100}{x}\right)=1- \frac{100}{x^{2}}.

Passo 4

Encontrar candidatos a extremo resolvendo f'(x)=0.
1-\frac{100}{x^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{100}{x^{2}}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=100.
Como x>0, temos
x=10.
Usando a restrição y=\dfrac{100}{x},
y=\frac{100}{10}=10.

Passo 5

Verificar que este ponto é mínimo (não máximo).
Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(1-\frac{100}{x^{2}}\right)=\frac{200}{x^{3}}.
Para x>0 temos f''(x)>0. Em particular f''(10)=\dfrac{200}{1000}=0,2>0. Portanto x=10 dá um mínimo local de f. Como f(x)\to\infty quando x\to0^+ ou x\to\infty, esse é o mínimo global.
Comentário intuitivo (sem cálculo): pela simetria do problema e pela desigualdade AM-GM, para produto fixo xy a soma x+y é minimizada quando x=y. Aplicando AM-GM:
\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}=\sqrt{100}=10,
logo x+y\ge20 com igualdade quando x=y=10. Isso confirma o resultado.

Passo 6

Interpretação prática e conclusão: o retângulo que minimiza o comprimento total de fio, sujeito à área fixa de 100\\ \mathrm{m}^2, é o quadrado com lados de 10\\ \mathrm{m}. Nesse caso o perímetro é 2(10+10)=40\\ \mathrm{m} e o comprimento total de fio (quatro fios ao redor do perímetro) é 4\cdot 40=160\\ \mathrm{m}.

Resposta

10\\ \mathrm{m} por 10\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados