- Um arame de 60 cm de comprimento é cortado em dois. Uma das partes é dobrada na forma de um círculo, e a outra na forma de um quadrado. Como deve ser cortado o arame para que a soma das áreas do círculo e do quadrado seja mínima?
Passo 1
Resumindo, temos um arame de comprimento total de
cm que é cortado em duas partes. Uma parte forma um círculo e a outra um quadrado. O objetivo é minimizar a soma das áreas dessas duas figuras. O conteúdo usado será otimização de função de uma variável via derivada.
Passo 2
Seja
o comprimento da parte usada para o círculo. Então o comprimento restante para o quadrado é
.
A circunferência do círculo vale , logo seu raio é
A circunferência do círculo vale
O lado do quadrado vale
Passo 3
Escrevendo as áreas em função de
:
Área do círculo
Área do círculo
e área do quadrado
A soma das áreas é
Passo 4
Para achar o mínimo, calculamos
e igualamos a zero:
Multiplicando por
e isolando
:
Passo 5
Verificamos que
ou seja, é um ponto de mínimo. Logo a parte para o círculo deve ter
e a parte para o quadrado
Resposta
Comprimento para o círculo:
comprimento para o quadrado: