1. Um arame de 60 cm de comprimento é cortado em dois. Uma das partes é dobrada na forma de um círculo, e a outra na forma de um quadrado. Como deve ser cortado o arame para que a soma das áreas do círculo e do quadrado seja mínima?

Passo 1

Resumindo, temos um arame de comprimento total de 60 cm que é cortado em duas partes. Uma parte forma um círculo e a outra um quadrado. O objetivo é minimizar a soma das áreas dessas duas figuras. O conteúdo usado será otimização de função de uma variável via derivada.

Passo 2

Seja x o comprimento da parte usada para o círculo. Então o comprimento restante para o quadrado é 60 - x.
A circunferência do círculo vale x, logo seu raio é
r = x2pi
O lado do quadrado vale
ell = 60 - x4

Passo 3

Escrevendo as áreas em função de x:
Área do círculo
Arm circ = pi r^2 = pil(x2pir)^2 = x^24pi,
e área do quadrado
Arm quad = ell^2 = l(60 - x4r)^2 = (60 - x)^216
A soma das áreas é
A(x) = x^24pi + (60 - x)^216

Passo 4

Para achar o mínimo, calculamos A'(x) e igualamos a zero:
A'(x) = 2x4pi - 2(60 - x)16 = x2pi - 60 - x8 Longrightarrow x2pi = 60 - x8
Multiplicando por 8pi e isolando x:
4x = pi(60 - x) ;Longrightarrow; 4x + pi x = 60pi ;Longrightarrow; x,(4 + pi) = 60pi ;Longrightarrow; x = 60pipi + 4

Passo 5

Verificamos que
A''(x) = 12pi + 18 > 0,
ou seja, é um ponto de mínimo. Logo a parte para o círculo deve ter
x = 60pipi + 4 cm
e a parte para o quadrado
60 - x = 240pi + 4 cm

Resposta

Comprimento para o círculo:
60pipi + 4 cm,
comprimento para o quadrado:
240pi + 4 cm

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