Com o Método de Variação dos Parâmetros (MVP), encontre a solução geral da edo.
x^2 y^prime prime-2 y=(x-1) x^-2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
x^2y''-2y=(x-1)x^-2
usando o método de variação dos parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes variáveis (tipo equação de Euler). Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois aplicar variação dos parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é
x^2y''-2y=0
Como é uma equação de Euler, tentamos y=x^m. Então
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1)x^m-2,
e substituindo em x^2y''-2y=0 vem
x^2l[m(m-1)x^m-2r]-2x^m=0 Longrightarrow l[m(m-1)-2r]x^m=0
A equação característica é
m^2-m-2=0 Longrightarrow m=2ou m=-1
Logo uma base da solução homogênea é
y1(x)=x^2, y2(x)=x^-1

Passo 3

Escrevemos a EDO em forma padrão
y''+p(x),y'+q(x),y=r(x)
Dividindo por x^2 obtém-se
y''-2x^-2y=(x-1)x^-4,
ou seja
p(x)=0, q(x)=-2x^-2, r(x)=(x-1)x^-4
O Wronskiano das soluções homogêneas é
W(x)= y1 & y2 y1'& y2' = x^2 & x^-1 2x & -x^-2 =-x^2,x^-2-2xcdot x^-1=-1-2=-3

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos
u1'=-y2,rW, u2'=y1,rW
Logo
u1'=-x^-1cdot(x-1)x^-4-3 =(x-1)x^-53, u2' =x^2cdot(x-1)x^-4-3 =-(x-1)x^-23

Passo 5

Integramos para encontrar u1 e u2:
u1 =integralx-13x^5,dx =13integrall(x^-4-x^-5r)dx =-x^-39+x^-412,
u2 =integrall(-x-13x^2r)dx =-13integrall(x^-1-x^-2r)dx =-ln|x|3+13x
Constantes de integração podem ser ajustadas dentro da solução homogênea.

Passo 6

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2
Substituindo:
u1y1 =l(-tfracx^-39+tfracx^-412r)x^2 =-tfracx^-19+tfracx^-212,
u2y2 =l(-tfracln|x|3+tfrac13xr)x^-1 =-tfracx^-13ln|x|+tfracx^-23
Somando e simplificando (absorvendo termos homogêneos), fica
yp =-tfrac13x^-1ln|x|+512x^-2
Portanto a solução geral é
y(x)=C1x^2+C2x^-1 -13x^-1ln|x|+512x^-2

Resposta

boxedy(x)=C1x^2+C2x^-1 -13,x^-1ln|x|+512,x^-2

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