Com o Método de Variação dos Parâmetros (MVP), encontre a solução geral da edo.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^x+2 x e^x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + y = e^x + 2x e^x
usando o Método de Variação dos Parâmetros. O conteúdo necessário é:
1. Encontrar a solução complementar yc a partir da equação homogênea.
2. Aplicar o método de variação de parâmetros usando duas soluções fundamentais y1,y2.
3. Calcular as funções u1' e u2', integrá-las e montar a solução particular yp.
4. Somar yc+yp para obter a solução geral.

Passo 2

Resolvemos primeiro a parte homogênea
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 Longrightarrow (r-1)^2 = 0,
logo r=1 é raiz dupla. Assim as duas soluções fundamentais são
y1 = e^x, y2 = x e^x,
e a solução complementar é
yc = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Para variação de parâmetros cálculamos o Wronskiano
As fórmulas padrão são
com .

Passo 4

Substituindo em u1' e u2':
u1' = -(e^x+2x e^x),(x e^x)e^2x = -,x,(1+2x),
u2' = (e^x+2x e^x),e^xe^2x = 1+2x

Passo 5

Agora integramos para obter u1 e u2 (desprezando constantes de integração, pois entrarão em yc):
u1 = integral(-x - 2x^2),dx = -x^22 - 2x^33,
u2 = integral(1+2x),dx = x + x^2

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(-x^22 - 2x^33r)e^x + (x + x^2),x e^x
Agrupando termos em e^x:
yp = e^xl(-tfracx^22 - tfrac2x^33 + x^2 + x^3r) = e^xl(tfracx^22 + tfracx^33r)

Passo 7

Por fim, a solução geral é a soma da complementar com a particular:
y(x) = yc + yp = C1 e^x + C2 x e^x + e^xl(tfracx^22 + tfracx^33r)

Resposta

boxed y(x) = C1 e^x + C2 x e^x + e^xl(tfracx^22 + tfracx^33r)

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