Um arame de densidade constante (pode considerar igual a 1) encontra - se ao longo da curva r(t)=(t cos t) i+(t sen t) j+(2 raiz2 / 3) t^3 / 2 k ; 0 <= t <= 1. Encontre barz, Iz, Rz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um fio com densidade constante (igual a 1) que está disposto ao longo de uma curva definida pela função vetorial:
r(t) = t cos t , i + t sin t , j + 2raiz23 t^3/2 , k, 0 <= t <= 1
O que precisamos encontrar são três coisas:
  1. Centro de Massa na direção z ( barz)
  2. Momento de Inércia em relação ao eixo z ( Iz)
  3. Raio de Giro em relação ao eixo z ( Rz)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e física, como cálculo de comprimento de curva, centro de massa e momento de inércia. Vamos precisar derivar a função vetorial, calcular seu módulo e então integrar para encontrar os valores pedidos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t), que nos dará a velocidade do ponto ao longo da curva:
r'(t) = ddt ( t cos t ) i + ddt ( t sin t ) j + ddt ( 2raiz23 t^3/2 ) k
Calculando cada componente:
  • Para a componente i:
    ddt (t cos t) = cos t - t sin t
  • Para a componente j:
    ddt (t sin t) = sin t + t cos t
  • Para a componente k:
    ddt ( 2raiz23 t^3/2 ) = 2raiz23 cdot 32 t^1/2 = raiz2 , t^1/2
Então, a derivada fica:
r'(t) = (cos t - t sin t) i + (sin t + t cos t) j + raiz2 , t^1/2 k

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo da derivada |r'(t)|, que representa a velocidade instantânea:
|r'(t)| = raiz(cos t - t sin t)^2 + (sin t + t cos t)^2 + (raiz2 , t^1/2)^2
Expandindo os termos:
|r'(t)| = raizcos^2 t - 2 t sin t cos t + t^2 sin^2 t + sin^2 t + 2 t sin t cos t + t^2 cos^2 t + 2 t
Observando que os termos -2 t sin t cos t e 2 t sin t cos t se cancelam, e que cos^2 t + sin^2 t = 1:
|r'(t)| = raiz1 + t^2 (sin^2 t + cos^2 t) + 2 t = raiz1 + t^2 (1) + 2 t = raizt^2 + 2 t + 1 = raiz(t + 1)^2 = t + 1
Então, simplificamos para:
|r'(t)| = t + 1

Passo 4

Com o módulo da derivada em mãos, podemos calcular a massa M do fio, que é a integral do módulo da derivada sobre o intervalo de t:
M = integral0^1 |r'(t)| , dt = integral0^1 (t + 1) , dt
Calculando a integral:
M = [ 12 t^2 + t ]0^1 = ( 12 cdot 1^2 + 1 ) - ( 12 cdot 0^2 + 0 ) = 12 + 1 = 32
Então, a massa do fio é:
M = 32

Passo 5

Agora, vamos encontrar o centro de massa na direção z ( barz). A fórmula para o centro de massa na direção z é:
barz = 1M integral0^1 z(t) cdot |r'(t)| , dt
Sabemos que:
z(t) = 2raiz23 t^3/2
Então, substituindo na fórmula:
barz = 132 integral0^1 ( 2raiz23 t^3/2 ) cdot (t + 1) , dt = 23 integral0^1 2raiz23 t^3/2 (t + 1) , dt
Simplificando:
barz = 23 cdot 2raiz23 integral0^1 t^5/2 + t^3/2 , dt = 4raiz29 [ 27 t^7/2 + 25 t^5/2 ]0^1
Calculando a integral:
barz = 4raiz29 ( 27 + 25 ) = 4raiz29 cdot 2435 = 96raiz2315 = 32raiz2105
Simplificando a fração:
barz = 16raiz235

Passo 6

Agora, vamos calcular o Momento de Inércia em relação ao eixo z ( Iz). A fórmula para Iz é:
Iz = integral0^1 (x(t)^2 + y(t)^2) cdot |r'(t)| , dt
Sabemos que:
x(t) = t cos t e y(t) = t sin t
Então:
x(t)^2 + y(t)^2 = t^2 cos^2 t + t^2 sin^2 t = t^2 (cos^2 t + sin^2 t) = t^2 cdot 1 = t^2
Portanto:
Iz = integral0^1 t^2 cdot (t + 1) , dt = integral0^1 t^3 + t^2 , dt
Calculando a integral:
Iz = [ 14 t^4 + 13 t^3 ]0^1 = ( 14 + 13 ) - ( 0 + 0 ) = 14 + 13 = 312 + 412 = 712
Então, o momento de inércia é:
Iz = 712

Passo 7

Por fim, vamos determinar o Raio de Giro em relação ao eixo z ( Rz). A fórmula para o raio de giro é:
Rz = raizIzM
Sabemos que:
Iz = 712 e M = 32
Substituindo na fórmula:
Rz = raiz71232 = raiz712 cdot 23 = raiz1436 = raiz718 = raiz146
Então, o raio de giro é:
Rz = raiz146

Resposta

barz = 16raiz235, Iz = 712, Rz = raiz146

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