Um arame de densidade constante (pode considerar igual a 1) encontra - se ao longo da curva
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um fio com densidade constante (igual a 1) que está disposto ao longo de uma curva definida pela função vetorial:
O que precisamos encontrar são três coisas:
- Centro de Massa na direção z (
) - Momento de Inércia em relação ao eixo z (
) - Raio de Giro em relação ao eixo z (
)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e física, como cálculo de comprimento de curva, centro de massa e momento de inércia. Vamos precisar derivar a função vetorial, calcular seu módulo e então integrar para encontrar os valores pedidos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
, que nos dará a velocidade do ponto ao longo da curva:
Calculando cada componente:
-
Para a componente
: -
Para a componente
: -
Para a componente
:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo da derivada
, que representa a velocidade instantânea:
Expandindo os termos:
Observando que os termos
e
se cancelam, e que
:
Então, simplificamos para:
Passo 4
Com o módulo da derivada em mãos, podemos calcular a massa
do fio, que é a integral do módulo da derivada sobre o intervalo de
:
Calculando a integral:
Então, a massa do fio é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o centro de massa na direção
(
). A fórmula para o centro de massa na direção
é:
Sabemos que:
Então, substituindo na fórmula:
Simplificando:
Calculando a integral:
Simplificando a fração:
Passo 6
Agora, vamos calcular o Momento de Inércia em relação ao eixo
(
). A fórmula para
é:
Sabemos que:
Então:
Portanto:
Calculando a integral:
Então, o momento de inércia é:
Passo 7
Por fim, vamos determinar o Raio de Giro em relação ao eixo
(
). A fórmula para o raio de giro é:
Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Então, o raio de giro é: