Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições dadas.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos usar multiplicadores de Lagrange para achar os extremos da função f(x,y,z)=x{2}+2y{2}+3z^{2} sujeita às duas restrições lineares x+y+z=1 e x–y+2z=2. O conteúdo envolve montar a Lagrangiana e resolver o sistema de primeiras derivadas.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana
e aplicamos as condições de ponto crítico igualando as derivadas parciais a zero.
Passo 3
Escrevemos as equações de primeiras derivadas e as restrições:
Passo 4
Resolvendo o sistema: da primeira equação vem
e da segunda
. Substituindo na terceira obtém-se
. Usando essa relação junto com as restrições gera o sistema
do qual saem
e substituindo em
dá
Passo 5
Calculamos o valor de f nesse ponto:
Passo 6
Conclusão sobre máximo e mínimo: como f é forma quadrática positiva definida e o domínio (interseção de duas planícies) é uma reta infinita, existe valor mínimo, mas não existe valor máximo (f cresce sem limite ao longo da reta).
Resposta
Valor mínimo de f: 759/529, obtido em (x,y,z)=(18/23, –6/23, 11/23). Não há valor máximo (f → ∞ sobre a reta de interseção).