Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições dadas.
f(x, y, z)=x^2+2 y^2+3 z^2 ; x+y+z=1, x-y+2 z=2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos usar multiplicadores de Lagrange para achar os extremos da função f(x,y,z)=x{2}+2y{2}+3z^{2} sujeita às duas restrições lineares x+y+z=1 e x–y+2z=2. O conteúdo envolve montar a Lagrangiana e resolver o sistema de primeiras derivadas.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana
L(x,y,z,lambda,mu)=x^2+2y^2+3z^2-lambda(x+y+z-1)-mu(x-y+2z-2)
e aplicamos as condições de ponto crítico igualando as derivadas parciais a zero.

Passo 3

Escrevemos as equações de primeiras derivadas e as restrições:
2x-lambda-mu=0,
4y-lambda+mu=0,
6z-lambda-2mu=0,
x+y+z=1,
x-y+2z=2

Passo 4

Resolvendo o sistema: da primeira equação vem lambda=2x-mu e da segunda mu=x-2y. Substituindo na terceira obtém-se 6z=3x-2y. Usando essa relação junto com as restrições gera o sistema
5x-4z=2,
-x+10z=4,
do qual saem
z=tfrac1123,
x=tfrac1823,
e substituindo em y=(3x-6z)/2
y=-tfrac623

Passo 5

Calculamos o valor de f nesse ponto:
fl(tfrac1823,-tfrac623,tfrac1123r)=18^223^2+26^223^2+311^223^2=759529

Passo 6

Conclusão sobre máximo e mínimo: como f é forma quadrática positiva definida e o domínio (interseção de duas planícies) é uma reta infinita, existe valor mínimo, mas não existe valor máximo (f cresce sem limite ao longo da reta).

Resposta

Valor mínimo de f: 759/529, obtido em (x,y,z)=(18/23, –6/23, 11/23). Não há valor máximo (f → ∞ sobre a reta de interseção).

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