ly^prime prime-8 y^prime+36 y=0 y(0)=2 e y^prime(0)=3

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-8y'+36y=0
sob as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=3. Vamos usar o método da equação característica e ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y=e^rx na equação diferencial, obtendo
r^2-8r+36=0

Passo 3

Calculamos o discriminante De, que é negativo. Logo as raízes são complexas:
r=8pm iraiz802=4pm i2raiz5

Passo 4

Para raízes alphapm ibeta a solução geral é
y(x)=e^alpha xl(Acos(beta x)+Bsin(beta x)r)
Aqui alpha=4 e beta=2raiz5, então
y(x)=e^4xl(Acos(2raiz5 x)+Bsin(2raiz5 x)r)

Passo 5

Aplicamos a condição y(0)=2. Como e^4cdot0=1, temos
y(0)=A=2,
ou seja, A=2.

Passo 6

Agora derivamos a solução geral para usar y'(0)=3:
y'(x)=4e^4xl(Acos(2raiz5 x)+Bsin(2raiz5 x)r)+e^4xl(-A,2raiz5sin(2raiz5 x)+B,2raiz5cos(2raiz5 x)r)
Em x=0 isso dá
y'(0)=4A+2raiz5,B=3
Substituindo A=2 resulta
8+2raiz5,B=3Rightarrow2raiz5,B=-5Rightarrow B=-52raiz5=-raiz52

Passo 7

Com A=2 e B=-tfracraiz52 a solução particular final é
y(x)=e^4xl(2cos(2raiz5 x)-raiz52sin(2raiz5 x)r)

Resposta

y(x)=e^4xl(2cosl(2raiz5xr)-tfracraiz52sinl(2raiz5xr)r).

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