(2,0) Calcule a área da região entre as curvas dadas na forma paramétrica:
l x = operatorname c o s t y = operatorname s e n t e l x=cos t y=12 sen t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área entre duas curvas que estão definidas de forma paramétrica. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente áreas entre curvas usando parametrização. Para resolver, vamos precisar entender as equações paramétricas das duas curvas e usar uma integral para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as curvas dadas:
  1. Primeira curva:
    x = cos t y = sin t
    Essa é a equação paramétrica do círculo unitário.
  2. Segunda curva:
    x = cos t y = 12 sin t
    Aqui, temos uma curva que é uma versão “achatada” do círculo, já que o valor de $ y $ é metade.

Passo 3

Sabemos que $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para completar uma volta completa no círculo. Vamos usar esse intervalo para calcular a área entre as duas curvas.

Passo 4

Para encontrar a área entre duas curvas paramétricas, usamos a seguinte fórmula:
Área = integrala^b (y1(t) - y2(t)) cdot dxdt , dt Á
Onde:
  • $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ são as funções $ y $ das duas curvas.
  • $ \frac{dx}{dt} $ é a derivada de $ x $ em relação a $ t $.

Passo 5

Vamos identificar cada parte:
  • $ y_1(t) = \sin t $
  • $ y_2(t) = \frac{1}{2} \sin t $
  • $ x = \cos t $ então $ \frac{dx}{dt} = -\sin t $
Substituindo na fórmula:
y1(t) = sin t Á
Simplificando:
y2(t) = 12 sin t Á

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral de $ \sin^2 t $. Sabemos que:
sin^2 t
Então:
sin^2 t = 1 - cos 2t2
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ 2\pi $:
integral sin^2 t , dt = integral 1 - cos 2t2 , dt = 12 integral (1 - cos 2t) , dt = 12 ( t - sin 2t2 ) + C
Então, a área será:
0 Á
Como área não pode ser negativa, tiramos o valor absoluto:
2pi Á

Resposta

A área da região entre as duas curvas é $ \frac{\pi}{2} $ unidades de área.

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