Calcule a área da região entre as curvas dadas na forma paramétrica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área entre duas curvas que estão definidas de forma paramétrica. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente áreas entre curvas usando parametrização. Para resolver, vamos precisar entender as equações paramétricas das duas curvas e usar uma integral para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as curvas dadas:
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Primeira curva:Essa é a equação paramétrica do círculo unitário.
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Segunda curva:Aqui, temos uma curva que é uma versão “achatada” do círculo, já que o valor de $ y $ é metade.
Passo 3
Sabemos que $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para completar uma volta completa no círculo. Vamos usar esse intervalo para calcular a área entre as duas curvas.
Passo 4
Para encontrar a área entre duas curvas paramétricas, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
- $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ são as funções $ y $ das duas curvas.
- $ \frac{dx}{dt} $ é a derivada de $ x $ em relação a $ t $.
Passo 5
Vamos identificar cada parte:
- $ y_1(t) = \sin t $
- $ y_2(t) = \frac{1}{2} \sin t $
- $ x = \cos t $ então $ \frac{dx}{dt} = -\sin t $
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral de $ \sin^2 t $. Sabemos que:
Então:
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Então, a área será:
Como área não pode ser negativa, tiramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região entre as duas curvas é $ \frac{\pi}{2} $ unidades de área.