Um arame com densidade linear de massa uniforme pende do teto. Sabe-se que transcorre
para que um pulso de onda se propague ao longo do arame. Qual é o seu comprimento?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dado: um arame (ou corda) pendurado verticalmente do teto, de densidade linear de massa uniforme.
- Dado: o tempo que um pulso leva para percorrer todo o comprimento do arame, do topo até a extremidade livre, é
. - Pedido: determinar o comprimento
do arame.
Informações relevantes que vou usar (extraídas do enunciado):
- A densidade linear de massa é uniforme (vou chamar de
). - O arame está em gravidade
(usarei ). - Não foi dada a massa total explicitamente; a solução não vai precisar do valor numérico de
porque ele cancela no desenvolvimento.
Passo 2
Entender a tensão ao longo do arame.
Explicação física: em um fio pendurado verticalmente, a tensão em um ponto depende do peso do trecho do fio que está abaixo desse ponto. Se medirmos a partir do topo (ou seja,
no teto e
na extremidade livre), a massa do trecho abaixo do ponto
é
. Logo, a tensão naquele ponto é o peso dessa porção:
Explicação física: em um fio pendurado verticalmente, a tensão em um ponto depende do peso do trecho do fio que está abaixo desse ponto. Se medirmos
Aqui
é a densidade linear de massa (
),
é a aceleração da gravidade (
),
é o comprimento total e
é a coordenada vertical desde o topo (
).
Passo 3
Fórmula da velocidade local de uma onda transversal em um fio sob tensão variável.
Conceito: a velocidade local da onda em um ponto do fio é dada por
Conceito: a velocidade local da onda em um ponto do fio é dada por
Aqui
é a velocidade da onda naquele ponto,
a tensão local e
a densidade linear de massa. Substituindo
do passo anterior:
Observação didática: a densidade
cancela — por isso não precisamos do valor numérico de
.
Passo 4
Expressar o tempo total
para o pulso percorrer do topo (
) até o fim (
) como uma integral.
Raciocínio: para um pequeno segmento no ponto
, o tempo gasto para o pulso atravessá-lo é
. Integrando ao longo de todo o arame:
Raciocínio: para um pequeno segmento
Vamos calcular essa integral explicitamente.
Passo 5
Calcular a integral para
. Fazer a substituição
. Então
e, quando
temos
; quando
temos
. A integral fica
Fatorando
:
A integral de
é
. Portanto
Assim obtemos a relação entre
e
:
Passo 6
Isolar
na expressão anterior e aplicar os valores numéricos. Da relação
temos
Substituindo
e
:
Arredondei para três algarismos significativos conforme
.