Um arame com densidade linear de massa uniforme pende do teto. Sabe-se que transcorre 1,00 \mathrm{~s} para que um pulso de onda se propague ao longo do arame. Qual é o seu comprimento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado: um arame (ou corda) pendurado verticalmente do teto, de densidade linear de massa uniforme.
  • Dado: o tempo que um pulso leva para percorrer todo o comprimento do arame, do topo até a extremidade livre, é t=1,00\\ \mathrm{s}.
  • Pedido: determinar o comprimento L do arame.
Informações relevantes que vou usar (extraídas do enunciado):
  • A densidade linear de massa é uniforme (vou chamar de \lambda).
  • O arame está em gravidade g (usarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}).
  • Não foi dada a massa total explicitamente; a solução não vai precisar do valor numérico de \lambda porque ele cancela no desenvolvimento.

Passo 2

Entender a tensão ao longo do arame.
Explicação física: em um fio pendurado verticalmente, a tensão em um ponto depende do peso do trecho do fio que está abaixo desse ponto. Se medirmos x a partir do topo (ou seja, x=0 no teto e x=L na extremidade livre), a massa do trecho abaixo do ponto x é \lambda (L-x). Logo, a tensão naquele ponto é o peso dessa porção:
T(x)=\lambda g (L-x).
Aqui \lambda é a densidade linear de massa ( \mathrm{kg/m}), g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}), L é o comprimento total e x é a coordenada vertical desde o topo ( \mathrm{m}).

Passo 3

Fórmula da velocidade local de uma onda transversal em um fio sob tensão variável.
Conceito: a velocidade local da onda em um ponto do fio é dada por
v(x)=\sqrt{\dfrac{T(x)}{\lambda}}.
Aqui v(x) é a velocidade da onda naquele ponto, T(x) a tensão local e \lambda a densidade linear de massa. Substituindo T(x) do passo anterior:
v(x)=\sqrt{\dfrac{\lambda g (L-x)}{\lambda}}=\sqrt{g(L-x)}.
Observação didática: a densidade \lambda cancela — por isso não precisamos do valor numérico de \lambda.

Passo 4

Expressar o tempo total t para o pulso percorrer do topo ( x=0) até o fim ( x=L) como uma integral.
Raciocínio: para um pequeno segmento dx no ponto x, o tempo gasto para o pulso atravessá-lo é dt=\dfrac{dx}{v(x)}. Integrando ao longo de todo o arame:
t=\int_{0}^{L}\frac{dx}{v(x)}=\int_{0}^{L}\frac{dx}{\sqrt{g(L-x)}}.
Vamos calcular essa integral explicitamente.

Passo 5

Calcular a integral para t. Fazer a substituição u=L-x. Então du=-dx e, quando x=0 temos u=L; quando x=L temos u=0. A integral fica
t=\int_{0}^{L}\frac{dx}{\sqrt{g(L-x)}}=\int_{L}^{0}\frac{-du}{\sqrt{g u}}=\int_{0}^{L}\frac{du}{\sqrt{g u}}.
Fatorando 1/\sqrt{g}:
t=\frac{1}{\sqrt{g}}\int_{0}^{L}u^{-1/2}\,du.
A integral de u^{-1/2} é 2u^{1/2}. Portanto
t=\frac{1}{\sqrt{g}}\left[2u^{1/2}\right]_{0}^{L}=\frac{2\sqrt{L}}{\sqrt{g}}.
Assim obtemos a relação entre t e L:
t=2\sqrt{\dfrac{L}{g}}.

Passo 6

Isolar L na expressão anterior e aplicar os valores numéricos. Da relação
t=2\sqrt{\dfrac{L}{g}}
temos
\sqrt{\dfrac{L}{g}}=\frac{t}{2}\quad\Rightarrow\quad L=g\left(\frac{t}{2}\right)^{2}=\dfrac{g t^{2}}{4}.
Substituindo t=1,00\\ \mathrm{s} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}:
L=\dfrac{9,8\cdot(1,00)^{2}}{4}=\dfrac{9,8}{4}=2,45\\ \mathrm{m}.
Arredondei para três algarismos significativos conforme t=1,00\\ \mathrm{s}.

Resposta

L=2,45\\ \mathrm{m}

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