Um arame com formato de um semicírculo
é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta
.
Passo 1
O enunciado dá um arame no formato do semicírculo
, (raio
, centro na origem) com densidade linear em cada ponto proporcional à distância desse ponto à reta
. O que se pede é o centro de massa (baricentro) desse arame, isto é as coordenadas
e
do ponto médio ponderado pela densidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva é o semicírculo de raio
centrado na origem: pontos satisfazendo e . - A densidade linear
em um ponto é proporcional à distância até a reta . Como os pontos do semicírculo têm , a distância é . Logo pode ser escrita como , com constante de proporcionalidade (que deve cancelar no centro de massa). - O que se pede:
e , as coordenadas do centro de massa do fio.
Passo 2
Lembrete e fórmulas que vamos usar (explicando devagar):
- Para um fio (curva) no plano com densidade linear
dependente do ponto e comprimento de linha elementar , a massa total é
- As coordenadas do centro de massa são
Aqui
e
são as coordenadas dos pontos ao longo da curva. Essas fórmulas vêm da definição de momento linear: somar (integral) cada posição multiplicada pela massa local e dividir pela massa total.
- Por simetria em relação ao eixo
do semicírculo, a distribuição é simétrica em , portanto automaticamente . Ainda assim, isso será explicado: para cada ponto existe com mesma densidade, então os momentos em se cancelam. - Resta portanto calcular
usando as fórmulas acima.
Passo 3
Parametrização prática do semicírculo e expressão de
e
:
- Parametrizamos o semicírculo por
usando as formulas de coordenadas polares (mais simples aqui):
com
variando de
a
para cobrir o semicírculo superior.
- O elemento de comprimento de arco é dado por
Calculando derivadas:
e
. Então
- A densidade em função de
é (pegando a distância até ):
Portanto todas as integrais ao longo da curva podem ser mudadas para integrais em
de
a
com o fator
.
Passo 4
Cálculo da massa total
:
Escrevemos
Escrevemos
Fatorando constantes:
Agora calculamos as integrais simples:
Logo
Observação: a constante
permanece multiplicando
, mas depois vai cancelar ao calcular
.
Passo 5
Cálculo do momento vertical
:
Escrevemos em :
Escrevemos em
Multiplicando constantes:
. Portanto
Calculamos separadamente:
e para
usamos a identidade
. Assim
Logo
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 6
Cálculo da coordenada
e conclusão:
Usando temos
Usando
A constante
cancelou, como esperado. Num valor decimal aproximado,
E, por simetria (explicada no Passo 2),