Um arame com formato de um semicírculo x^{2}+y^{2}=4, y \geq 0 é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta y=2.

Passo 1

O enunciado dá um arame no formato do semicírculo \,x^{2}+y^{2}=4,\;y\ge0, (raio 2, centro na origem) com densidade linear em cada ponto proporcional à distância desse ponto à reta \,y=2. O que se pede é o centro de massa (baricentro) desse arame, isto é as coordenadas \bar x e \bar y do ponto médio ponderado pela densidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é o semicírculo de raio 2 centrado na origem: pontos (x,y) satisfazendo x^{2}+y^{2}=4 e y\ge0.
  • A densidade linear \lambda em um ponto é proporcional à distância até a reta y=2. Como os pontos do semicírculo têm 0\le y\le 2, a distância é |y-2|=2-y. Logo \lambda pode ser escrita como \lambda(x,y)=k(2-y), com k>0 constante de proporcionalidade (que deve cancelar no centro de massa).
  • O que se pede: \bar x e \bar y, as coordenadas do centro de massa do fio.

Passo 2

Lembrete e fórmulas que vamos usar (explicando devagar):
  • Para um fio (curva) no plano com densidade linear \lambda dependente do ponto e comprimento de linha elementar ds, a massa total é
M=\int_{\text{curva}}\lambda\,ds.
  • As coordenadas do centro de massa são
\bar x=\frac{1}{M}\int_{\text{curva}} x\,\lambda\,ds,\qquad \bar y=\frac{1}{M}\int_{\text{curva}} y\,\lambda\,ds.
Aqui x e y são as coordenadas dos pontos ao longo da curva. Essas fórmulas vêm da definição de momento linear: somar (integral) cada posição multiplicada pela massa local e dividir pela massa total.
  • Por simetria em relação ao eixo y do semicírculo, a distribuição é simétrica em x, portanto automaticamente \bar x=0. Ainda assim, isso será explicado: para cada ponto (x,y) existe (-x,y) com mesma densidade, então os momentos em x se cancelam.
  • Resta portanto calcular \bar y usando as fórmulas acima.

Passo 3

Parametrização prática do semicírculo e expressão de ds e \lambda:
  • Parametrizamos o semicírculo por \theta usando as formulas de coordenadas polares (mais simples aqui):
x=2\cos\theta,\qquad y=2\sin\theta,
com \theta variando de 0 a \pi para cobrir o semicírculo superior.
  • O elemento de comprimento de arco é dado por
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^{2}}\,d\theta.
Calculando derivadas: \dfrac{dx}{d\theta}=-2\sin\theta e \dfrac{dy}{d\theta}=2\cos\theta. Então
ds=\sqrt{(-2\sin\theta)^{2}+(2\cos\theta)^{2}}\,d\theta =\sqrt{4\sin^{2}\theta+4\cos^{2}\theta}\,d\theta =2\,d\theta.
  • A densidade em função de \theta é (pegando a distância até y=2):
\lambda(\theta)=k(2-y)=k\bigl(2-2\sin\theta\bigr)=2k(1-\sin\theta).
Portanto todas as integrais ao longo da curva podem ser mudadas para integrais em \theta de 0 a \pi com o fator ds=2\,d\theta.

Passo 4

Cálculo da massa total M:
Escrevemos
M=\int_{\text{curva}}\lambda\,ds =\int_{0}^{\pi} \lambda(\theta)\,ds =\int_{0}^{\pi} 2k(1-\sin\theta)\cdot 2\,d\theta.
Fatorando constantes:
M=4k\int_{0}^{\pi}(1-\sin\theta)\,d\theta.
Agora calculamos as integrais simples:
\int_{0}^{\pi}1\,d\theta=\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2.
Logo
M=4k\bigl(\pi-2\bigr).
Observação: a constante k permanece multiplicando M, mas depois vai cancelar ao calcular \bar y.

Passo 5

Cálculo do momento vertical \displaystyle \int y\lambda\,ds:
Escrevemos em \theta:
\int_{\text{curva}} y\,\lambda\,ds =\int_{0}^{\pi} \bigl(2\sin\theta\bigr)\cdot\bigl(2k(1-\sin\theta)\bigr)\cdot 2\,d\theta.
Multiplicando constantes: 2\sin\theta\cdot 2k(1-\sin\theta)\cdot 2 = 8k\,\sin\theta(1-\sin\theta). Portanto
\int_{\text{curva}} y\lambda\,ds = 8k\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin\theta-\sin^{2}\theta\bigr)\,d\theta.
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2,
e para \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta usamos a identidade \sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta). Assim
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(1-\cos 2\theta)\,d\theta =\tfrac{1}{2}\bigl[\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\bigr]_{0}^{\pi} =\tfrac{1}{2}\pi.
Logo
\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin\theta-\sin^{2}\theta\bigr)\,d\theta = 2 - \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{4-\pi}{2}.
Multiplicando pelo fator 8k obtemos
\int_{\text{curva}} y\lambda\,ds = 8k\cdot \tfrac{4-\pi}{2} = 4k(4-\pi).

Passo 6

Cálculo da coordenada \bar y e conclusão:
Usando \bar y=\dfrac{1}{M}\int y\lambda\,ds temos
\bar y=\frac{4k(4-\pi)}{4k(\pi-2)}=\frac{4-\pi}{\pi-2}.
A constante k cancelou, como esperado. Num valor decimal aproximado,
\bar y\approx\frac{4-3{,}14159}{3{,}14159-2}\approx\frac{0{,}85841}{1{,}14159}\approx0{,}752.
E, por simetria (explicada no Passo 2),
\bar x=0.

Resposta

\bar x=0\
\bar y=\dfrac{4-\pi}{\pi-2}

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