(c) Seja o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y)=\left(e^{x} \cos y,-e^{x} \sin y\right)
e seja C a curva parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\left(t, t^{2}\right), \quad 0 \leq t \leq 1 .
Calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} .

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=\left(e^{x}\cos y,\; -e^{x}\sin y\right).
  • A curva C parametrizada por \mathbf{r}(t)=\left(t,\; t^{2}\right) para 0\le t\le 1.
O que é pedido:
  • Calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Lembrete básico (fórmula que vamos usar): a integral de linha de um campo vetorial \mathbf{F} ao longo de uma curva parametrizada \mathbf{r}(t), para a\le t\le b, é dada por
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando cada peça:
  • \mathbf{r}(t) é a posição ao longo da curva em função de t.
  • \mathbf{r}'(t) é a velocidade (derivada componente a componente).
  • \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) significa substituir x e y por x(t) e y(t) dentro de \mathbf{F}.
  • O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) dá uma função escalar de t que integramos de a a b.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t). Como \mathbf{r}(t)=\left(t,\; t^{2}\right), derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\left(\dfrac{d}{dt}t,\; \dfrac{d}{dt}t^{2}\right)=\left(1,\; 2t\right).

Passo 4

Avaliar \mathbf{F} ao longo da curva, ou seja \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)). Substituindo x=t e y=t^{2} em \mathbf{F}(x,y):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\left(e^{t}\cos(t^{2}),\; -e^{t}\sin(t^{2})\right).

Passo 5

Formar o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t). Fazendo o produto componente a componente:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = e^{t}\cos(t^{2})\cdot 1 + \big(-e^{t}\sin(t^{2})\big)\cdot(2t).
Simplificando:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = e^{t}\cos(t^{2}) - 2t\,e^{t}\sin(t^{2}) = e^{t}\big(\cos(t^{2}) - 2t\sin(t^{2})\big).

Passo 6

Tentar reconhecer a função a ser integrada. Observação: a expressão e^{t}\big(\cos(t^{2}) - 2t\sin(t^{2})\big) parece derivada de uma produto envolvendo e^{t} e \cos(t^{2}). Vamos calcular a derivada de e^{t}\cos(t^{2}) para confirmar (usando regra do produto e regra da cadeia):
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\cos(t^{2})\big) = e^{t}\cos(t^{2}) + e^{t}\cdot\frac{d}{dt}\big(\cos(t^{2})\big).
Agora \dfrac{d}{dt}\big(\cos(t^{2})\big) = -\sin(t^{2})\cdot \dfrac{d}{dt}(t^{2}) = -\sin(t^{2})\cdot 2t.
Portanto
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\cos(t^{2})\big) = e^{t}\cos(t^{2}) + e^{t}\cdot\big(-2t\sin(t^{2})\big) = e^{t}\big(\cos(t^{2}) - 2t\sin(t^{2})\big).
Isso coincide exatamente com a nossa integranda.

Passo 7

Como a integranda é a derivada de e^{t}\cos(t^{2}), a integral de t=0 a t=1 é imediata pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{1}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_{0}^{1}\frac{d}{dt}\big(e^{t}\cos(t^{2})\big)\,dt = \big[e^{t}\cos(t^{2})\big]_{0}^{1}.
Agora avaliar nos extremos:
\big[e^{t}\cos(t^{2})\big]_{0}^{1}=e^{1}\cos(1^{2})-e^{0}\cos(0^{2}) = e\cos 1 - 1\cdot\cos 0.
E \cos 0 = 1, logo o resultado é
e\cos 1 - 1.

Resposta

e\cos 1 - 1

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