(c) Seja o campo vetorial
e seja
a curva parametrizada por
Calcule
Passo 1
O enunciado fornece:
- O campo vetorial
. - A curva
parametrizada por para .
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
Lembrete básico (fórmula que vamos usar): a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada
, para
, é dada por
Explicando cada peça:
-
é a posição ao longo da curva em função de . -
é a velocidade (derivada componente a componente). -
significa substituir e por e dentro de . - O produto escalar
dá uma função escalar de que integramos de a .
Passo 3
Calcular
. Como
, derivando componente a componente:
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva, ou seja
. Substituindo
e
em
:
Passo 5
Formar o produto escalar
. Fazendo o produto componente a componente:
Simplificando:
Passo 6
Tentar reconhecer a função a ser integrada. Observação: a expressão
parece derivada de uma produto envolvendo
e
. Vamos calcular a derivada de
para confirmar (usando regra do produto e regra da cadeia):
Agora
.
Portanto
Portanto
Isso coincide exatamente com a nossa integranda.
Passo 7
Como a integranda é a derivada de
, a integral de
a
é imediata pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Agora avaliar nos extremos:
E
, logo o resultado é