(a) Seja o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y)=\left(2 x y+y^{2}, x^{2}+2 x y\right)
e seja C o segmento de reta que liga o ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 1,2 ).
Calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(2xy+y^{2},\;x^{2}+2xy\bigr)
e pede para calcular a integral de linha ao longo do segmento de reta C que liga (0,0) a (1,2):
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Informações relevantes dadas:
  • O campo vetorial \mathbf{F} tem componentes P(x,y)=2xy+y^{2} e Q(x,y)=x^{2}+2xy.
  • A curva C é o segmento de reta de (0,0) até (1,2).
  • A pergunta é calcular o valor numérico da integral de linha \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Primeira ideia: parametrizar o segmento de reta. Explicação didática: um segmento entre dois pontos (x_0,y_0) e (x_1,y_1) pode ser escrito por interpolação linear
\mathbf{r}(t)=(1-t)(x_0,y_0)+t(x_1,y_1),\qquad 0\le t\le1.
Aqui (x_0,y_0)=(0,0) e (x_1,y_1)=(1,2). Assim escolhemos a parametrização
\mathbf{r}(t)=(t,\,2t),\qquad 0\le t\le1.
Derivando para obter o elemento de arco diferencial,
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(1,\,2)\,dt.
Comentário prático: isso transforma a integral de linha (sobre x,y) numa integral só em t, o que é geralmente mais simples de calcular.

Passo 3

Agora substituímos x e y por x(t)=t e y(t)=2t nas componentes de \mathbf{F}. Cálculo detalhado:
  • Primeira componente:
2xy+y^{2}=2\cdot t\cdot(2t)+(2t)^{2}=4t^{2}+4t^{2}=8t^{2}.
  • Segunda componente:
x^{2}+2xy=t^{2}+2\cdot t\cdot(2t)=t^{2}+4t^{2}=5t^{2}.
Logo, a função vetorial ao longo da curva é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\bigl(8t^{2},\,5t^{2}\bigr).

Passo 4

Calculamos o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t). Lembrando que o produto escalar de (a,b) com (c,d) é ac+bd. Aplicando:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=8t^{2}\cdot 1 + 5t^{2}\cdot 2 = 8t^{2}+10t^{2}=18t^{2}.
Portanto a integral de linha transforma-se em uma integral simples em t:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1}18t^{2}\,dt.

Passo 5

Calcule a integral:
\int_{0}^{1}18t^{2}\,dt = 18\int_{0}^{1}t^{2}\,dt = 18\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=18\cdot\frac{1}{3}=6.
Conclusão pelo método da parametrização: o valor da integral é 6.

Passo 6

Verificação alternativa (método mais rápido quando aplicável): checar se o campo é conservativo e usar uma função potencial. Explicação didática: um campo \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo se existe uma função \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, isto é \phi_x=P e \phi_y=Q. Uma maneira prática de testar em \mathbb{R}^2 é comparar as derivadas parciais cruzadas: se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e o domínio for simplesmente conectado, então \mathbf{F} é conservativo.
Calcule as derivadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy+y^{2})=2x+2y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+2xy)=2x+2y.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e o domínio \mathbb{R}^{2} é simplesmente conectado, \mathbf{F} é conservativo.

Passo 7

Encontrar explicitamente a função potencial \varphi. Integramos P em relação a x:
\varphi(x,y)=\int(2xy+y^{2})\,dx = x^{2}y + x y^{2} + h(y),
onde h(y) é uma função que pode depender só de y. Agora derivamos em relação a y e igualamos a Q:
\phi_{y}(x,y)=x^{2}+2xy + h'(y)\stackrel{!}{=}x^{2}+2xy.
Isto dá h'(y)=0, logo h é constante que podemos ignorar. Assim uma potencial válida é
\varphi(x,y)=x^{2}y + x y^{2}.

Passo 8

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos (linha integral independente do caminho), a integral vale a diferença da potencial nos extremos:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(1,2)-\varphi(0,0).
Calcule:
\varphi(1,2)=1^{2}\cdot 2 + 1\cdot 2^{2}=2+4=6,\qquad \varphi(0,0)=0.
Portanto a integral é 6, confirmando o resultado anterior.

Resposta

6

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