(a) Seja o campo vetorial
e seja
o segmento de reta que liga o ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 1,2 ).
Calcule
Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para calcular a integral de linha ao longo do segmento de reta
que liga
a
:
Informações relevantes dadas:
- O campo vetorial
tem componentes e . - A curva
é o segmento de reta de até . - A pergunta é calcular o valor numérico da integral de linha
.
Passo 2
Primeira ideia: parametrizar o segmento de reta. Explicação didática: um segmento entre dois pontos
e
pode ser escrito por interpolação linear
Aqui
e
. Assim escolhemos a parametrização
Derivando para obter o elemento de arco diferencial,
Comentário prático: isso transforma a integral de linha (sobre
) numa integral só em
, o que é geralmente mais simples de calcular.
Passo 3
Agora substituímos
e
por
e
nas componentes de
. Cálculo detalhado:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
Logo, a função vetorial ao longo da curva é
Passo 4
Calculamos o produto escalar
. Lembrando que o produto escalar de
com
é
. Aplicando:
Portanto a integral de linha transforma-se em uma integral simples em
:
Passo 5
Calcule a integral:
Conclusão pelo método da parametrização: o valor da integral é
.
Passo 6
Verificação alternativa (método mais rápido quando aplicável): checar se o campo é conservativo e usar uma função potencial. Explicação didática: um campo
é conservativo se existe uma função
tal que
, isto é
e
. Uma maneira prática de testar em
é comparar as derivadas parciais cruzadas: se
e o domínio for simplesmente conectado, então
é conservativo.
Calcule as derivadas:
Como
e o domínio
é simplesmente conectado,
é conservativo.
Passo 7
Encontrar explicitamente a função potencial
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma função que pode depender só de
. Agora derivamos em relação a
e igualamos a
:
Isto dá
, logo
é constante que podemos ignorar. Assim uma potencial válida é
Passo 8
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos (linha integral independente do caminho), a integral vale a diferença da potencial nos extremos:
Calcule:
Portanto a integral é
, confirmando o resultado anterior.