Um arame semicircular de raio R=0,5 \mathrm{~m} tem densidade linear de massa uniforme \lambda=2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. Calcule a coordenada y do centro de massa, considerando o diâmetro sobre o eixo x com centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede a coordenada y do centro de massa de um arame em forma de semicírculo. Informações dadas:
R=0,5\\ \mathrm{m},\qquad \lambda=2\\ \mathrm{kg/m},
o diâmetro está sobre o eixo x com o centro do semicírculo na origem (ou seja, o semicírculo fica acima do eixo x). A pergunta é: qual é a coordenada y do centro de massa do arame?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: para um corpo unidimensional com densidade linear \lambda conhecida, a coordenada y do centro de massa é
\bar{y}=\frac{1}{M}\int y\,dm,
onde M é a massa total e dm é um elemento de massa. Aqui dm=\lambda\,ds, sendo ds um elemento de comprimento do arame. Vou parametrizar o semicírculo pelo ângulo polar \theta, tomando \theta de 0 a \pi (começando no ponto x=R,y=0, indo sobre o semicírculo até x=-R,y=0). As coordenadas do ponto no arco são
x=R\cos\theta,\qquad y=R\sin\theta,
e o elemento de comprimento é
ds=R\,d\theta.
Expliquei cada símbolo: R é o raio, \theta é o ângulo que identifica cada ponto do arco, y é a ordenada do ponto, \lambda é a densidade linear (massa por comprimento), M é a massa total.

Passo 3

Calcular a massa total M. O comprimento do semicírculo é \pi R, então
M=\lambda\cdot(\text{comprimento})=\lambda\pi R.
Substituindo, se precisássemos do valor numérico para conferência, seria M=2\cdot\pi\cdot0,5= \pi kg, mas não é necessário ainda; mantemos simbólico para simplificar a integral.

Passo 4

Montar a integral para \bar{y}. Usando y=R\sin\theta e dm=\lambda\,ds=\lambda R\,d\theta,
\bar{y}=\frac{1}{M}\int_{0}^{\pi} y\,dm =\frac{1}{\lambda\pi R}\int_{0}^{\pi} (R\sin\theta)\,(\lambda R\,d\theta).
Agora simplifico fatores constantes: \lambda cancela, sobra
\bar{y}=\frac{1}{\pi R}\int_{0}^{\pi} R^2\sin\theta\,d\theta =\frac{R}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta. Sabemos que uma primitiva de \sin\theta é -\cos\theta, então
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=[-\,\cos\theta]_{0}^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos 0)= -(-1)+1=2.
Portanto
\bar{y}=\frac{R}{\pi}\cdot 2=\frac{2R}{\pi}.
Isto é uma expressão geral: para um semicírculo uniforme a coordenada y do centro de massa vale \dfrac{2R}{\pi}.

Passo 6

Substituir o valor numérico de R. Com R=0,5\\ \mathrm{m},
\bar{y}=\frac{2\cdot 0,5}{\pi}=\frac{1}{\pi}\\ \mathrm{m}\approx 0,3183\\ \mathrm{m}.
Pequena interpretação intuitiva: o centro de massa fica sobre o eixo y (simetria) a uma distância 2/\pi\approx0{,}6366 vezes o raio acima da origem; para R=0{,}5 isso dá cerca de 0{,}318 m. Força extra: ficou mais claro agora? Você já resolve esse tipo de integral numa prova.

Resposta

\bar{y}=\dfrac{1}{\pi}\\ \mathrm{m}\approx 0,3183\\ \mathrm{m}

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