Um arame semicircular de raio
tem densidade linear de massa uniforme
. Calcule a coordenada y do centro de massa, considerando o diâmetro sobre o eixo x com centro na origem.
Passo 1
O enunciado pede a coordenada
do centro de massa de um arame em forma de semicírculo. Informações dadas:
o diâmetro está sobre o eixo
com o centro do semicírculo na origem (ou seja, o semicírculo fica acima do eixo
). A pergunta é: qual é a coordenada
do centro de massa do arame?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar: para um corpo unidimensional com densidade linear
conhecida, a coordenada
do centro de massa é
onde
é a massa total e
é um elemento de massa. Aqui
, sendo
um elemento de comprimento do arame. Vou parametrizar o semicírculo pelo ângulo polar
, tomando
de
a
(começando no ponto
, indo sobre o semicírculo até
). As coordenadas do ponto no arco são
e o elemento de comprimento é
Expliquei cada símbolo:
é o raio,
é o ângulo que identifica cada ponto do arco,
é a ordenada do ponto,
é a densidade linear (massa por comprimento),
é a massa total.
Passo 3
Calcular a massa total
. O comprimento do semicírculo é
, então
Substituindo, se precisássemos do valor numérico para conferência, seria
kg, mas não é necessário ainda; mantemos simbólico para simplificar a integral.
Passo 4
Montar a integral para
. Usando
e
,
Agora simplifico fatores constantes:
cancela, sobra
Passo 5
Calcular a integral
. Sabemos que uma primitiva de
é
, então
Portanto
Isto é uma expressão geral: para um semicírculo uniforme a coordenada
do centro de massa vale
.
Passo 6
Substituir o valor numérico de
. Com
,
Pequena interpretação intuitiva: o centro de massa fica sobre o eixo
(simetria) a uma distância
vezes o raio acima da origem; para
isso dá cerca de
m. Força extra: ficou mais claro agora? Você já resolve esse tipo de integral numa prova.