Três partículas idênticas ocupam os vértices de um triângulo equilátero. Determine o CM
Passo 1
O enunciado diz: três partículas idênticas ocupam os vértices de um triângulo equilátero. A pergunta é: determinar o centro de massa (CM) do sistema.
Informações dadas e convenções que vou usar (sem pedir nada a você):
Informações dadas e convenções que vou usar (sem pedir nada a você):
- As massas são idênticas, vou chamar cada uma de
. - O triângulo é equilátero, vou chamar o comprimento do lado de
. - Para poder dar uma resposta concreta em coordenadas, vou colocar o triângulo num sistema cartesiano conveniente (isso é uma escolha legítima e não altera o resultado físico).
Passo 2
Fórmula e ideia básica do centro de massa para partículas discretas: para um conjunto de
partículas de massas
localizadas em posições
, o centro de massa
é
onde
é a massa total.
Explicando cada termo: é o vetor posição da partícula
,
é sua massa, e
é a média ponderada das posições por suas massas.
No caso em que todas as massas são iguais, isto é para todo
, a fórmula simplifica muito:
Explicando cada termo:
No caso em que todas as massas são iguais, isto é
ou seja, o CM é simplesmente a média aritmética das posições (cada partícula contribui igualmente). Um exemplo rápido para fixar: duas massas iguais em
e
têm CM em
.
Passo 3
Escolha de coordenadas prática para o triângulo equilátero (isso facilita as contas e dá uma resposta em termos de
): coloco um lado sobre o eixo
e o terceiro vértice acima desse lado. Especificamente tomo os vértices
Explicação rápida: o ponto
está exatamente acima do ponto médio de
e a altura do triângulo equilátero de lado
vale
por isso a coordenada
de
é
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula simplificada para massas iguais (
). As posições vetoriais são
,
,
. Então as coordenadas do CM são a média das coordenadas
e a média das coordenadas
:
Mostrei cada soma e divisão para você poder reproduzir na prova sem pular passos.
Passo 5
Interpretação geométrica e propriedade importante: o ponto
é precisamente o centróide do triângulo (a interseção das três medianas). Em palavras simples: para três massas iguais nos vértices, o centro de massa coincide com o centróide.
Uma propriedade útil que vale lembrar para prova: ao longo de cada mediana, o centróide divide a mediana na razão , contando do vértice para o lado oposto. Como a altura é
, a distância do vértice superior até o CM é
Uma propriedade útil que vale lembrar para prova: ao longo de cada mediana, o centróide divide a mediana na razão
e a distância do CM até o lado oposto é
, que bate com o
que calculamos.
Passo 6
Resumo prático que você pode usar direto na prova: para três partículas idênticas nos vértices de um triângulo equilátero, o CM é o centróide do triângulo. Em termos vetoriais, se os vértices têm posições
, então
Resposta
O centro de massa coincide com o centróide (interseção das medianas). Escolhendo
,
,
, temos
.