Três partículas idênticas ocupam os vértices de um triângulo equilátero. Determine o CM

Passo 1

O enunciado diz: três partículas idênticas ocupam os vértices de um triângulo equilátero. A pergunta é: determinar o centro de massa (CM) do sistema.
Informações dadas e convenções que vou usar (sem pedir nada a você):
  • As massas são idênticas, vou chamar cada uma de \,m.
  • O triângulo é equilátero, vou chamar o comprimento do lado de \,a.
  • Para poder dar uma resposta concreta em coordenadas, vou colocar o triângulo num sistema cartesiano conveniente (isso é uma escolha legítima e não altera o resultado físico).

Passo 2

Fórmula e ideia básica do centro de massa para partículas discretas: para um conjunto de N partículas de massas \,m_i localizadas em posições \vec{r}_i, o centro de massa \vec{R} é
\vec{R}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N} m_i\vec{r}_i,
onde \,M=\sum_{i=1}^{N} m_i é a massa total.
Explicando cada termo: \vec{r}_i é o vetor posição da partícula i, m_i é sua massa, e \vec{R} é a média ponderada das posições por suas massas.
No caso em que todas as massas são iguais, isto é m_i=m para todo i, a fórmula simplifica muito:
\vec{R}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec{r}_i,
ou seja, o CM é simplesmente a média aritmética das posições (cada partícula contribui igualmente). Um exemplo rápido para fixar: duas massas iguais em x=0 e x=2 têm CM em x=(0+2)/2=1.

Passo 3

Escolha de coordenadas prática para o triângulo equilátero (isso facilita as contas e dá uma resposta em termos de a): coloco um lado sobre o eixo x e o terceiro vértice acima desse lado. Especificamente tomo os vértices
A=(0,0),\qquad B=(a,0),\qquad C=\Bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}a\Bigr).
Explicação rápida: o ponto C está exatamente acima do ponto médio de AB e a altura do triângulo equilátero de lado a vale
h=\tfrac{\sqrt{3}}{2}a,
por isso a coordenada y de C é \tfrac{\sqrt{3}}{2}a.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula simplificada para massas iguais ( N=3). As posições vetoriais são \vec{r}_A=(0,0), \vec{r}_B=(a,0), \vec{r}_C=\bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}a\bigr). Então as coordenadas do CM são a média das coordenadas x e a média das coordenadas y:
x_{CM}=\frac{1}{3}\bigl(0 + a + \tfrac{a}{2}\bigr)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3a}{2}=\frac{a}{2},
y_{CM}=\frac{1}{3}\bigl(0 + 0 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}a\bigr)=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a.
Mostrei cada soma e divisão para você poder reproduzir na prova sem pular passos.

Passo 5

Interpretação geométrica e propriedade importante: o ponto \bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{6}a\bigr) é precisamente o centróide do triângulo (a interseção das três medianas). Em palavras simples: para três massas iguais nos vértices, o centro de massa coincide com o centróide.
Uma propriedade útil que vale lembrar para prova: ao longo de cada mediana, o centróide divide a mediana na razão 2:1, contando do vértice para o lado oposto. Como a altura é h=\tfrac{\sqrt{3}}{2}a, a distância do vértice superior até o CM é
\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a,
e a distância do CM até o lado oposto é h/3=\tfrac{\sqrt{3}}{6}a, que bate com o y_{CM} que calculamos.

Passo 6

Resumo prático que você pode usar direto na prova: para três partículas idênticas nos vértices de um triângulo equilátero, o CM é o centróide do triângulo. Em termos vetoriais, se os vértices têm posições \vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3, então
\vec{R}=\frac{\vec{r}_1+\vec{r}_2+\vec{r}_3}{3}.

Resposta

O centro de massa coincide com o centróide (interseção das medianas). Escolhendo A=(0,0), B=(a,0), C=(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}a), temos \displaystyle\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{6}a\right).

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