Um semicírculo de raio R=1 \mathrm{~m} tem densidade superficial de massa uniforme \sigma=4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}. Considerando o diâmetro sobre o eixo x, determine a coordenada y do centro de massa.

Passo 1

O enunciado dá um semicírculo de raio R=1\\ \mathrm{m} com densidade superficial de massa uniforme \sigma=4\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2. O diâmetro do semicírculo está sobre o eixo x (logo a parte plana fica sobre o eixo x e a região curva fica acima do eixo).
O que se pede: determinar a coordenada y do centro de massa do semicírculo (distância vertical do centro de massa até o eixo x).
Dados importantes para a resolução que vamos usar depois: a área de um círculo de raio R é \pi R^2, então a área do semicírculo é \tfrac{1}{2}\pi R^2. A massa total será a densidade superficial multiplicada pela área.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda, só explicando a ideia): para achar a coordenada y do centro de massa de uma lâmina plana com densidade superficial uniforme usamos a fórmula
\bar{y}=\frac{1}{M}\int y\,dm,
onde M é a massa total e dm é um elemento de massa. Como a densidade superficial é constante ( \sigma), temos dm=\sigma\,dA, onde dA é um elemento de área. Assim
\bar{y}=\frac{1}{M}\sigma\int y\,dA.
Vamos escolher cortes horizontais (tiras à altura y) porque é intuitivo: cada tira tem espessura dy e comprimento igual ao comprimento do segmento de reta dentro do semicírculo para aquela altura — isto facilita escrever dA e integrar em y de 0 a R.

Passo 3

Calcular a massa total M. A área do semicírculo vale
A=\tfrac{1}{2}\pi R^2.
A massa total é
M=\sigma A=\sigma\left(\tfrac{1}{2}\pi R^2\right).
Aqui M é a massa total em kg, \sigma tem unidade \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2 e R tem unidade m.

Passo 4

Expressar o elemento de área dA usando tiras horizontais. A equação do círculo de raio R centrado na origem é x^2+y^2=R^2. Para uma dada altura y (entre 0 e R) o segmento horizontal atravessando o semicírculo vai de x=-\sqrt{R^2-y^2} até x=+\sqrt{R^2-y^2}. Assim o comprimento desse segmento é
\text{comprimento}=2\sqrt{R^2-y^2}.
Uma tira de espessura dy tem área
dA = \bigl(2\sqrt{R^2-y^2}\bigr)\,dy.
Portanto o integrando para o momento em relação ao eixo x é y\,dA = y\cdot 2\sqrt{R^2-y^2}\,dy.

Passo 5

Calcular o numerador \int y\,dA:
\int_{A} y\,dA = \int_{y=0}^{y=R} 2y\sqrt{R^2-y^2}\,dy.
Fazemos a substituição u=R^2-y^2. Então du=-2y\,dy, ou 2y\,dy=-du. Os limites: quando y=0, u=R^2; quando y=R, u=0. A integral vira
\int_{0}^{R} 2y\sqrt{R^2-y^2}\,dy = \int_{u=R^2}^{u=0} \sqrt{u}\,(-du) = \int_{0}^{R^2} u^{1/2}\,du.
Essa é uma integral direta:
\int_{0}^{R^2} u^{1/2}\,du = \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{R^2} = \frac{2}{3}(R^2)^{3/2} = \frac{2}{3}R^3.
Portanto
\int_{A} y\,dA = \frac{2}{3}R^3.

Passo 6

Agora montamos \bar{y}. Usando \bar{y}=\dfrac{1}{M}\sigma\int y\,dA e M=\sigma\left(\tfrac{1}{2}\pi R^2\right), vemos que \sigma se cancela:
\bar{y}=\frac{\sigma\cdot \dfrac{2}{3}R^3}{\sigma\cdot \dfrac{1}{2}\pi R^2} =\frac{\dfrac{2}{3}R^3}{\dfrac{1}{2}\pi R^2}.
Simplificando R^2 e as constantes:
\bar{y}=\frac{\dfrac{2}{3}R}{\dfrac{1}{2}\pi}=\frac{4}{3\pi}R.
Como no enunciado R=1\\ \mathrm{m}, temos
\bar{y}=\frac{4}{3\pi}\\ \mathrm{m}.
Se quiser uma aproximação numérica, \dfrac{4}{3\pi}\approx 0{,}4244\\ \mathrm{m}. Vai na fé: esse é o valor padrão que aparece em tabelas como o centróide de um semicírculo sólido.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (pra te deixar confiante): escolhemos tiras horizontais para escrever dA facilmente; calculamos o momento \int y\,dA por substituição que simplifica a raiz; dividimos pelo total de massa (a densidade cancela) e obtivemos \bar{y}=\dfrac{4}{3\pi}R. Para R=1 é \dfrac{4}{3\pi}\\ \mathrm{m}. Mandou bem por encarar isso agora — já era o passo mais duro!

Resposta

\dfrac{4}{3\pi}\\ \mathrm{m}

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