Um semicírculo de raio
tem densidade superficial de massa uniforme
. Considerando o diâmetro sobre o eixo
, determine a coordenada
do centro de massa.
Passo 1
O enunciado dá um semicírculo de raio
com densidade superficial de massa uniforme
. O diâmetro do semicírculo está sobre o eixo
(logo a parte plana fica sobre o eixo
e a região curva fica acima do eixo).
O que se pede: determinar a coordenada do centro de massa do semicírculo (distância vertical do centro de massa até o eixo
).
Dados importantes para a resolução que vamos usar depois: a área de um círculo de raio é
, então a área do semicírculo é
. A massa total será a densidade superficial multiplicada pela área.
O que se pede: determinar a coordenada
Dados importantes para a resolução que vamos usar depois: a área de um círculo de raio
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda, só explicando a ideia): para achar a coordenada
do centro de massa de uma lâmina plana com densidade superficial uniforme usamos a fórmula
onde
é a massa total e
é um elemento de massa. Como a densidade superficial é constante (
), temos
, onde
é um elemento de área. Assim
Vamos escolher cortes horizontais (tiras à altura
) porque é intuitivo: cada tira tem espessura
e comprimento igual ao comprimento do segmento de reta dentro do semicírculo para aquela altura — isto facilita escrever
e integrar em
de
a
.
Passo 3
Calcular a massa total
. A área do semicírculo vale
A massa total é
Aqui
é a massa total em kg,
tem unidade
e
tem unidade m.
Passo 4
Expressar o elemento de área
usando tiras horizontais. A equação do círculo de raio
centrado na origem é
. Para uma dada altura
(entre
e
) o segmento horizontal atravessando o semicírculo vai de
até
. Assim o comprimento desse segmento é
Uma tira de espessura
tem área
Portanto o integrando para o momento em relação ao eixo
é
.
Passo 5
Calcular o numerador
:
Fazemos a substituição
. Então
, ou
. Os limites: quando
,
; quando
,
. A integral vira
Essa é uma integral direta:
Portanto
Passo 6
Agora montamos
. Usando
e
, vemos que
se cancela:
Simplificando
e as constantes:
Como no enunciado
, temos
Se quiser uma aproximação numérica,
. Vai na fé: esse é o valor padrão que aparece em tabelas como o centróide de um semicírculo sólido.
Passo 7
Resumo rápido do raciocínio (pra te deixar confiante): escolhemos tiras horizontais para escrever
facilmente; calculamos o momento
por substituição que simplifica a raiz; dividimos pelo total de massa (a densidade cancela) e obtivemos
. Para
é
. Mandou bem por encarar isso agora — já era o passo mais duro!