Um fio de comprimento 6 m tem densidade linear variável dada por \lambda(\mathrm{x})=2^{*} \mathrm{x} \mathrm{kg} / \mathrm{m}, onde x representa a posição no fio. Determine o centro de massa do fio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Comprimento do fio: \;6\\ \mathrm{m}.
  • Densidade linear variável: \displaystyle \lambda(x)=2x\\ \mathrm{kg/m}, onde \;x é a posição ao longo do fio (assumimos x=0 em uma extremidade e x=6 na outra).
  • Pedido: determinar o centro de massa do fio (ou seja, a coordenada \;x_{\text{cm}} medida a partir da extremidade onde x=0).

Passo 2

Conceito básico e montagem do problema (aulas rápidas e práticas).
  • Imagine um pedacinho muito pequeno do fio, de comprimento \mathrm{d}x, localizado na posição x.
  • A massa desse pedaço é \mathrm{d}m=\lambda(x)\,\mathrm{d}x. Aqui \lambda(x) tem unidades \mathrm{kg/m}, \mathrm{d}x tem unidades \mathrm{m}, então \mathrm{d}m fica em \mathrm{kg} — tudo consistente.
  • A massa total do fio é a soma (integral) dessas massas pequenas:
M=\int_{0}^{6}\lambda(x)\,\mathrm{d}x.
  • O centro de massa em uma dimensão (quando a posição é x) é dado por:
x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int_{0}^{6} x\,\mathrm{d}m = \frac{1}{M}\int_{0}^{6} x\,\lambda(x)\,\mathrm{d}x.
Isso significa: somo todos os pequenos momentos x\cdot \mathrm{d}m e divido pela massa total.

Passo 3

Calcular a massa total M.
Substituímos \lambda(x)=2x na expressão de M:
M=\int_{0}^{6} 2x\,\mathrm{d}x.
Calculamos a integral passo a passo. A primitiva de 2x é x^{2}, então
M = \left. x^{2}\right|_{0}^{6} = 6^{2}-0^{2}=36.
Portanto a massa total é \;M=36\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Montar a integral do numerador (primeiro momento) que aparece em x_{\text{cm}}.
A fórmula é
x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int_{0}^{6} x\,\lambda(x)\,\mathrm{d}x.
Substituindo \lambda(x)=2x:
\int_{0}^{6} x\,\lambda(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{6} x\cdot (2x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{6} 2x^{2}\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Calcular a integral do momento \displaystyle \int_{0}^{6}2x^{2}\,\mathrm{d}x.
A primitiva de 2x^{2} é \tfrac{2}{3}x^{3}. Então
\int_{0}^{6} 2x^{2}\,\mathrm{d}x = \left.\tfrac{2}{3}x^{3}\right|_{0}^{6} = \tfrac{2}{3}\cdot 6^{3}-0 = \tfrac{2}{3}\cdot 216 = 144.
A unidade desse valor é \mathrm{kg\cdot m} (momento).

Passo 6

Calcular x_{\text{cm}} e interpretar.
Usamos
x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int_{0}^{6} x\,\lambda(x)\,\mathrm{d}x=\frac{144}{36}=4.
A unidade é metros, portanto o centro de massa está em \;4\\ \mathrm{m} medidos a partir da extremidade onde x=0.
Interpretação rápida e motivadora: como a densidade cresce com x ( \lambda(x)=2x), mais massa está concentrada próximo a x=6, então o centro de massa fica deslocado para a direita de 3\\ \mathrm{m} (o meio geométrico) para 4\\ \mathrm{m}. Faz sentido físico — você ficou mais perto da parte “pesada”.

Resposta

4\\ \mathrm{m}

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