Um fio de comprimento 6 m tem densidade linear variável dada por \lambda(\mathrm{x})=2^{*} \mathrm{x} \mathrm{kg} / \mathrm{m}, onde x representa a posição no fio. Determine o centro de massa do fio.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Comprimento do fio: \;6\\ \mathrm{m}.
Densidade linear variável: \displaystyle \lambda(x)=2x\\ \mathrm{kg/m}, onde \;x é a posição ao longo do fio (assumimos x=0 em uma extremidade e x=6 na outra).
Pedido: determinar o centro de massa do fio (ou seja, a coordenada \;x_{\text{cm}} medida a partir da extremidade onde x=0).
Passo 2
Conceito básico e montagem do problema (aulas rápidas e práticas).
Imagine um pedacinho muito pequeno do fio, de comprimento \mathrm{d}x, localizado na posição x.
A massa desse pedaço é \mathrm{d}m=\lambda(x)\,\mathrm{d}x. Aqui \lambda(x) tem unidades \mathrm{kg/m}, \mathrm{d}x tem unidades \mathrm{m}, então \mathrm{d}m fica em \mathrm{kg} — tudo consistente.
A massa total do fio é a soma (integral) dessas massas pequenas:
M=\int_{0}^{6}\lambda(x)\,\mathrm{d}x.
O centro de massa em uma dimensão (quando a posição é x) é dado por:
A unidade é metros, portanto o centro de massa está em \;4\\ \mathrm{m} medidos a partir da extremidade onde x=0.
Interpretação rápida e motivadora: como a densidade cresce com x (\lambda(x)=2x), mais massa está concentrada próximo a x=6, então o centro de massa fica deslocado para a direita de 3\\ \mathrm{m} (o meio geométrico) para 4\\ \mathrm{m}. Faz sentido físico — você ficou mais perto da parte “pesada”.