Um arame tem a forma de um semicírculo de raio R dada por x^{2}+y^{2}=R^{2}, x \geq 0. Sendo a densidade linear do arame dada por \delta(x, y)=x, calcule:
O momento de Inércia relativo ao eixo de rotação x;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
O fio (arame) tem a forma do semicírculo definido por x^{2}+y^{2}=R^{2} com x\geq0.
Isso significa que o semicírculo é a metade direita do círculo de raio R, ou seja, vai do ponto (0,-R) até (0,R) passando por (R,0).
A densidade linear do arame é \delta(x,y)=x.
Isto é, a massa por unidade de comprimento em cada ponto do fio é igual à coordenada x desse ponto.
O que se pede: calcular o momento de inércia do arame relativo ao eixo de rotação x (ou seja, o eixo x que passa pelo centro do círculo).
Passo 2
Vamos recordar a fórmula e o raciocínio físico que vamos usar (explicadinho passo a passo).
Para um fio fino (arame) o momento de inércia em relação a um eixo é dado por a integral ao longo do fio de \text{(distância ao eixo)}^{2} vezes a massa elementar. Em fórmula:
I_x=\int_{\text{fio}} (\text{distância ao eixo }x)^{2}\,dm.
A distância de um ponto (x,y) ao eixo x é |y|. Como vamos elevar ao quadrado, usamos simplesmente y^{2}. Logo
I_x=\int_{\text{fio}} y^{2}\,dm.
A massa elementar dm vem da densidade linear multiplicada pelo elemento de comprimento ds:
dm=\delta(x,y)\,ds.
Portanto
I_x=\int_{\text{fio}} y^{2}\,\delta(x,y)\,ds.
Aqui cada símbolo significa:
I_x: momento de inércia em relação ao eixo x.
y: coordenada vertical do ponto sobre o fio.
\delta(x,y): densidade linear no ponto.
ds: elemento de comprimento ao longo do fio.
Passo 3
Escolher uma boa parametrização do semicírculo para transformar a integral de linha numa integral em uma variável única.
Para o círculo de raio R uma parametrização natural usa o ângulo \theta:
x=R\cos\theta,\qquad y=R\sin\theta.
Como queremos a parte com x\geq0 (semicírculo direito), \cos\theta\ge0. Os ângulos que cobrem essa metade são
Combinar o resultado da integral com o fator R^{4} que estava fora.
Portanto
I_x=R^{4}\cdot\frac{2}{3}.
Observação física rápida e encorajadora: a densidade \delta=x é não negativa nessa semicircunferência (porque x=R\cos\theta\ge0 para \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]), então o momento de inércia positivo \tfrac{2}{3}R^{4} faz sentido.