Um arame tem a forma de um semicírculo de raio R dada por x^{2}+y^{2}=R^{2}, x \geq 0. Sendo a densidade linear do arame dada por \delta(x, y)=x, calcule:
O momento de Inércia relativo ao eixo de rotação x;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • O fio (arame) tem a forma do semicírculo definido por x^{2}+y^{2}=R^{2} com x\geq0.
    Isso significa que o semicírculo é a metade direita do círculo de raio R, ou seja, vai do ponto (0,-R) até (0,R) passando por (R,0).
  • A densidade linear do arame é \delta(x,y)=x.
    Isto é, a massa por unidade de comprimento em cada ponto do fio é igual à coordenada x desse ponto.
  • O que se pede: calcular o momento de inércia do arame relativo ao eixo de rotação x (ou seja, o eixo x que passa pelo centro do círculo).

Passo 2

Vamos recordar a fórmula e o raciocínio físico que vamos usar (explicadinho passo a passo).
  • Para um fio fino (arame) o momento de inércia em relação a um eixo é dado por a integral ao longo do fio de \text{(distância ao eixo)}^{2}â vezes a massa elementar. Em fórmula:
I_x=\int_{\text{fio}} (\text{distância ao eixo }x)^{2}\,dm.â
  • A distância de um ponto (x,y) ao eixo x é |y|. Como vamos elevar ao quadrado, usamos simplesmente y^{2}. Logo
I_x=\int_{\text{fio}} y^{2}\,dm.
  • A massa elementar dm vem da densidade linear multiplicada pelo elemento de comprimento ds:
dm=\delta(x,y)\,ds.
Portanto
I_x=\int_{\text{fio}} y^{2}\,\delta(x,y)\,ds.
Aqui cada símbolo significa:
  • I_x: momento de inércia em relação ao eixo x.
  • y: coordenada vertical do ponto sobre o fio.
  • \delta(x,y): densidade linear no ponto.
  • ds: elemento de comprimento ao longo do fio.

Passo 3

Escolher uma boa parametrização do semicírculo para transformar a integral de linha numa integral em uma variável única.
  • Para o círculo de raio R uma parametrização natural usa o ângulo \theta:
x=R\cos\theta,\qquad y=R\sin\theta.
  • Como queremos a parte com x\geq0 (semicírculo direito), \cos\theta\ge0. Os ângulos que cobrem essa metade são
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
isto é, do ponto (0,-R) em \theta=-\tfrac{\pi}{2} até (0,R) em \theta=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular o elemento de comprimento ds na parametrização por \theta.
  • A posição em função de \theta é \mathbf{r}(\theta)=(R\cos\theta,\,R\sin\theta).
    Derivando em relação a \theta:
\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}=(-R\sin\theta,\,R\cos\theta).
  • O comprimento do vetor derivada dá o fator de alongamento:
\left\|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right\|=\sqrt{(-R\sin\theta)^{2}+(R\cos\theta)^{2}}=\sqrt{R^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)}=R.
  • Assim o elemento de arco é
ds=\left\|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right\|\,d\theta=R\,d\theta.

Passo 5

Expressar dm usando a densidade \delta(x,y)=x e o ds que achamos.
  • Na parametrização temos x=R\cos\theta. Então a densidade em termos de \theta é \delta=R\cos\theta.
  • Como dm=\delta\,ds, obtemos
dm=(R\cos\theta)\cdot(R\,d\theta)=R^{2}\cos\theta\,d\theta.

Passo 6

Montar a integral para I_x substituindo y e dm em função de \theta.
  • Temos y=R\sin\theta, então y^{2}=R^{2}\sin^{2}\theta.
  • Portanto
I_x=\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} y^{2}\,dm =\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \big(R^{2}\sin^{2}\theta\big)\cdot\big(R^{2}\cos\theta\,d\theta\big).
  • Agrupando fatores:
I_x=R^{4}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^{2}\theta\cos\theta\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral \displaystyle \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^{2}\theta\cos\theta\,d\theta de forma simples (substituição).
  • Faça a substituição u=\sin\theta. Então du=\cos\theta\,d\theta.
  • Os limites: quando \theta=-\tfrac{\pi}{2} tem u=\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1; quando \theta=\tfrac{\pi}{2} tem u=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1.
  • A integral transforma-se em
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^{2}\theta\cos\theta\,d\theta =\int_{u=-1}^{1} u^{2}\,du.
  • Calcule:
\int_{-1}^{1} u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.

Passo 8

Combinar o resultado da integral com o fator R^{4} que estava fora.
  • Portanto
I_x=R^{4}\cdot\frac{2}{3}.
  • Observação física rápida e encorajadora: a densidade \delta=x é não negativa nessa semicircunferência (porque x=R\cos\theta\ge0 para \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]), então o momento de inércia positivo \tfrac{2}{3}R^{4} faz sentido.

Resposta

\displaystyle I_x=\frac{2}{3}\,R^{4}

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