Considere um fio de densidade linear \delta(x, y, z)=x+y+z, definido pela parametrização:
\gamma(t)=\left\{\begin{aligned} x & =t \\\ y & =2 t 0 \leq t \leq 1 \\\ z & =3 t \end{aligned}\right.
Calcule:
O momento de Inércia relativo ao eixo de rotação x;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pedido: calcular o momento de inércia relativo ao eixo de rotação x de um fio com densidade linear variável.
  • Informação da densidade linear: \delta(x,y,z)=x+y+z.
  • Parametrização do fio: \gamma(t) com \gamma(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=(t,\,2t,\,3t),\qquad 0\le t\le1.
  • Intervalo do parâmetro: t\in[0,1].

Passo 2

Fórmula que vamos usar e significado das quantidades.
  • Para um fio (massa distribuída ao longo de uma curva), o momento de inércia em relação ao eixo x é I_x=\int r^2\,\mathrm{d}m,onde r é a distância de um elemento de massa ao eixo x e \mathrm{d}m é o elemento de massa.
  • A distância ao eixo x é a distância no plano yz, logo r^2=y^2+z^2.
  • Para uma curva parametrizada por \gamma(t), o elemento de massa é dado por \mathrm{d}m=\delta\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert\,\mathrm{d}t,onde \delta(\gamma(t)) é a densidade linear avaliada na posição do ponto e \bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert é o comprimento de arco por unidade de t (isto é, \mathrm{d}s=\lVert\gamma'(t)\rVert\mathrm{d}t).
  • Portanto, na prática vamos calcular I_x=\int_{0}^{1}\bigl(y(t)^2+z(t)^2\bigr)\,\delta\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Calcular \gamma'(t) e seu comprimento \bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert.
  • Derivando componente a componente: \gamma'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(1,2,3).
  • Norma (constante, aqui): \bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.

Passo 4

Avaliar a densidade linear ao longo da curva: \delta\bigl(\gamma(t)\bigr).
  • Substituindo x=t, y=2t, z=3t em \delta(x,y,z)=x+y+z: \delta\bigl(\gamma(t)\bigr)=t+2t+3t=6t.

Passo 5

Calcular r^2(t)=y(t)^2+z(t)^2.
  • Usando y=2t e z=3t: r^2(t)= (2t)^2+(3t)^2 =4t^2+9t^2=13t^2.

Passo 6

Montar o integrando e simplificar.
  • O integrando é r^2(t)\,\delta(\gamma(t))\,\lVert\gamma'(t)\rVert: r^2(t)\,\delta(\gamma(t))\,\lVert\gamma'(t)\rVert = \bigl(13t^2\bigr)\cdot\bigl(6t\bigr)\cdot\sqrt{14}.
  • Simplificando: \bigl(13t^2\bigr)\cdot\bigl(6t\bigr)\cdot\sqrt{14}=78\sqrt{14}\,t^3.

Passo 7

Calcular a integral do momento de inércia no intervalo t\in[0,1].
  • Temos I_x=\int_{0}^{1}78\sqrt{14}\,t^3\,\mathrm{d}t.
  • Integrando: I_x=78\sqrt{14}\int_{0}^{1}t^3\,\mathrm{d}t=78\sqrt{14}\left[\frac{t^4}{4}\right]_{0}^{1}=78\sqrt{14}\cdot\frac{1}{4}.
  • Simplificando a fração: I_x=\frac{78}{4}\sqrt{14}=\frac{39}{2}\sqrt{14}.

Resposta

\displaystyle I_x=\frac{39}{2}\sqrt{14}

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