Considere um fio de densidade linear \delta(x, y, z)=x+y+z, definido pela parametrização:
\gamma(t)=\left\{\begin{aligned} x & =t \\\ y & =2 t 0 \leq t \leq 1 \\\ z & =3 t \end{aligned}\right.
Calcule:
O momento de Inércia relativo ao eixo de rotação x;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
Pedido: calcular o momento de inércia relativo ao eixo de rotação x de um fio com densidade linear variável.
Informação da densidade linear: \delta(x,y,z)=x+y+z.
Parametrização do fio: \gamma(t) com\gamma(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=(t,\,2t,\,3t),\qquad 0\le t\le1.
Intervalo do parâmetro: t\in[0,1].
Passo 2
Fórmula que vamos usar e significado das quantidades.
Para um fio (massa distribuída ao longo de uma curva), o momento de inércia em relação ao eixo x éI_x=\int r^2\,\mathrm{d}m,onde r é a distância de um elemento de massa ao eixo x e \mathrm{d}m é o elemento de massa.
A distância ao eixo x é a distância no plano yz, logor^2=y^2+z^2.
Para uma curva parametrizada por \gamma(t), o elemento de massa é dado por\mathrm{d}m=\delta\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert\,\mathrm{d}t,onde \delta(\gamma(t)) é a densidade linear avaliada na posição do ponto e \bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert é o comprimento de arco por unidade de t (isto é, \mathrm{d}s=\lVert\gamma'(t)\rVert\mathrm{d}t).
Portanto, na prática vamos calcularI_x=\int_{0}^{1}\bigl(y(t)^2+z(t)^2\bigr)\,\delta\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert\,\mathrm{d}t.
Passo 3
Calcular \gamma'(t) e seu comprimento \bigl\lVert\gamma'(t)\bigr\rVert.
Derivando componente a componente:\gamma'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(1,2,3).
Avaliar a densidade linear ao longo da curva: \delta\bigl(\gamma(t)\bigr).
Substituindo x=t, y=2t, z=3t em \delta(x,y,z)=x+y+z:\delta\bigl(\gamma(t)\bigr)=t+2t+3t=6t.
Passo 5
Calcular r^2(t)=y(t)^2+z(t)^2.
Usando y=2t e z=3t:r^2(t)= (2t)^2+(3t)^2 =4t^2+9t^2=13t^2.
Passo 6
Montar o integrando e simplificar.
O integrando é r^2(t)\,\delta(\gamma(t))\,\lVert\gamma'(t)\rVert:r^2(t)\,\delta(\gamma(t))\,\lVert\gamma'(t)\rVert = \bigl(13t^2\bigr)\cdot\bigl(6t\bigr)\cdot\sqrt{14}.