Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=x \vec{i}+y \vec{j} e \gamma é a poligonal de vértices
A_{0}=(0,0), A_{1}=(1,1), A_{2}=(1,0)
orientada de A_{0} para A_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde a campo vetorial é \vec{F}(x,y)=x\,\vec{i}+y\,\vec{j} e a curva \gamma é a poligonal orientada de A_{0} até A_{2} com vértices
A_{0}=(0,0),\qquad A_{1}=(1,1),\qquad A_{2}=(1,0).
As perguntas implícitas são: calcular a integral ao longo do caminho que vai de A_{0} para A_{1} e depois para A_{2}, obedecendo a orientação dada, e somar as contribuições dos dois trechos.
Informações relevantes dadas:
  • A função vetorial \vec{F}(x,y)=x\,\vec{i}+y\,\vec{j}.
  • A curva \gamma é a união dos segmentos A_{0}A_{1} e A_{1}A_{2}, percorridos na ordem A_{0}\to A_{1}\to A_{2}.
  • Coordenadas dos pontos listadas acima.

Passo 2

Conceito útil e definição (explicação didática): a integral de linha de um campo vetorial \vec{F} ao longo de uma curva parametrizada \vec{r}(t), com t variando em um intervalo [a,b], é definida por
\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui:
  • \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) é a parametrização do caminho; t é o parâmetro que percorre o trecho.
  • \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada em relação a t, isto é o vetor tangente (velocidade).
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado ao longo da curva.
  • O produto \cdot é o produto escalar: se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.
    Na prática para uma poligonal fazemos a integral em cada segmento (parametrização simples para cada segmento) e somamos as contribuições, porque a integral é aditiva por partes.
Vou aplicar exatamente isto: parametrizar cada segmento, calcular \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) e integrar no intervalo apropriado.

Passo 3

Parametrização e cálculo no segmento A_{0}\to A_{1} (reta do (0,0) até (1,1)).
Uma parametrização simples é
\vec{r}_1(t)=(t,t),\qquad t\in[0,1],
pois em t=0 temos (0,0) e em t=1 temos (1,1).
Derivada:
\vec{r}_1\,'(t)=(1,1).
Campo ao longo da curva:
\vec{F}(\vec{r}_1(t))=(x(t),y(t))=(t,t).
Produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}_1(t))\cdot\vec{r}_1\,'(t)= (t,t)\cdot(1,1)=t\cdot 1 + t\cdot 1=2t.
Integral no primeiro trecho:
\int_{A_{0}}^{A_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{1} 2t\,dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1}2t\,dt = \left[t^{2}\right]_{0}^{1}=1^{2}-0^{2}=1.

Passo 4

Parametrização e cálculo no segmento A_{1}\to A_{2} (reta do (1,1) até (1,0)).
Escolhemos um parâmetro s\in[0,1] e a parametrização
\vec{r}_2(s)=(1,\,1-s),\qquad s\in[0,1],
pois em s=0 temos (1,1) e em s=1 temos (1,0).
Derivada:
\vec{r}_2\,'(s)=(0,-1).
Campo ao longo da curva:
\vec{F}(\vec{r}_2(s))=(x,y)=(1,\,1-s).
Produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}_2(s))\cdot\vec{r}_2\,'(s) = (1,\,1-s)\cdot(0,-1)=1\cdot 0 + (1-s)(-1)=-(1-s)=s-1.
Integral no segundo trecho:
\int_{A_{1}}^{A_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{1} (s-1)\,ds.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1}(s-1)\,ds = \left[\tfrac{1}{2}s^{2}-s\right]_{0}^{1} = \left(\tfrac{1}{2}-1\right)-0 = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Somando as contribuições dos dois trechos (aditividade da integral de linha por partes):
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{A_{0}}^{A_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r} + \int_{A_{1}}^{A_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r} = 1 + \left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (ideia útil para a prova): o campo \vec{F}(x,y)=(x,y) é gradiente de uma função potencial simples. De fato, defina
\varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}).
Então \nabla\varphi=(\partial\varphi/\partial x,\partial\varphi/\partial y)=(x,y)=\vec{F}. Pelo teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos, a integral entre dois pontos depende só dos extremos:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(A_{2})-\varphi(A_{0}).
Calculando:
\varphi(A_{2})=\tfrac{1}{2}(1^{2}+0^{2})=\tfrac{1}{2},\qquad \varphi(A_{0})=\tfrac{1}{2}(0^{2}+0^{2})=0,
logo \varphi(A_{2})-\varphi(A_{0})=\tfrac{1}{2}, que confere com o resultado obtido pelo cálculo direto.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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