Calcule
, onde
e
é a poligonal de vértices
orientada de
para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a campo vetorial é
e a curva
é a poligonal orientada de
até
com vértices
As perguntas implícitas são: calcular a integral ao longo do caminho que vai de
para
e depois para
, obedecendo a orientação dada, e somar as contribuições dos dois trechos.
Informações relevantes dadas:
- A função vetorial
. - A curva
é a união dos segmentos e , percorridos na ordem . - Coordenadas dos pontos listadas acima.
Passo 2
Conceito útil e definição (explicação didática): a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada
, com
variando em um intervalo
, é definida por
Aqui:
-
é a parametrização do caminho; é o parâmetro que percorre o trecho. -
é a derivada em relação a , isto é o vetor tangente (velocidade). -
é o campo avaliado ao longo da curva. - O produto
é o produto escalar: se e , então .
Na prática para uma poligonal fazemos a integral em cada segmento (parametrização simples para cada segmento) e somamos as contribuições, porque a integral é aditiva por partes.
Vou aplicar exatamente isto: parametrizar cada segmento, calcular
e integrar no intervalo apropriado.
Passo 3
Parametrização e cálculo no segmento
(reta do
até
).
Uma parametrização simples é
pois em
temos
e em
temos
.
Derivada:
Campo ao longo da curva:
Produto escalar:
Integral no primeiro trecho:
Calcule a integral:
Passo 4
Parametrização e cálculo no segmento
(reta do
até
).
Escolhemos um parâmetro
e a parametrização
pois em
temos
e em
temos
.
Derivada:
Campo ao longo da curva:
Produto escalar:
Integral no segundo trecho:
Calcule a integral:
Passo 5
Somando as contribuições dos dois trechos (aditividade da integral de linha por partes):
Passo 6
Verificação alternativa (ideia útil para a prova): o campo
é gradiente de uma função potencial simples. De fato, defina
Então
. Pelo teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos, a integral entre dois pontos depende só dos extremos:
Calculando:
logo
, que confere com o resultado obtido pelo cálculo direto.