Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar primitivas (antiderivadas) da função
usando o método da substituição.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função dada é
. - Queremos uma primitiva indefinida, ou seja uma função
tal que . - Observação útil: a função tem problema em
(aqui não é definida), mas podemos encontrar primitivas em qualquer intervalo que não contenha .
Passo 2
Escolha da substituição: quando a função é uma potência de uma expressão do tipo
, normalmente a substituição natural é tomar a parte interna como nova variável. Defino
Explicando: a ideia é simplificar a expressão
para
, que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Relacionar os diferenciais: derivando
em relação a
obtemos
Como
, a mudança de variável não altera o diferencial aqui (é uma substituição direta). Portanto a integral transforma-se assim:
Passo 4
Regra da potência para integrais (a fórmula que vamos usar): para qualquer número
,
Explicação didática: essa fórmula vem do fato de que, ao derivar
com respeito a
, aplica-se a regra do poder e obtém-se
. A constante
aparece porque estamos encontrando uma primitiva indefinida. Observação importante: o caso
é especial e dá
, mas aqui
, então usamos a fórmula acima.
Passo 5
Aplicando a fórmula com
:
Simplificando a constante multiplicativa:
Passo 6
Voltar à variável
: lembrando que
, substitui-se de volta:
Verificação rápida (opcional, mas bom para ficar confiante): derivando
,
pois
. Isso confirma
.