Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=\frac{1}{(x-2)^{11}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar primitivas (antiderivadas) da função \,f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^{11}}\, usando o método da substituição.
Informações fornecidas:
  • A função dada é \,f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^{11}}=\,(x-2)^{-11}\,.
  • Queremos uma primitiva indefinida, ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=f(x).
  • Observação útil: a função tem problema em x=2 (aqui não é definida), mas podemos encontrar primitivas em qualquer intervalo que não contenha x=2.

Passo 2

Escolha da substituição: quando a função é uma potência de uma expressão do tipo (x-2), normalmente a substituição natural é tomar a parte interna como nova variável. Defino
u = x-2.
Explicando: a ideia é simplificar a expressão (x-2)^{-11} para u^{-11}, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Relacionar os diferenciais: derivando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=1\quad\Rightarrow\quad du=dx.
Como du=dx, a mudança de variável não altera o diferencial aqui (é uma substituição direta). Portanto a integral transforma-se assim:
\int (x-2)^{-11}\,dx = \int u^{-11}\,du.

Passo 4

Regra da potência para integrais (a fórmula que vamos usar): para qualquer número n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Explicação didática: essa fórmula vem do fato de que, ao derivar \dfrac{u^{n+1}}{n+1} com respeito a u, aplica-se a regra do poder e obtém-se u^n. A constante C aparece porque estamos encontrando uma primitiva indefinida. Observação importante: o caso n=-1 é especial e dá \int u^{-1}\,du=\ln|u|+C, mas aqui n=-11\neq -1, então usamos a fórmula acima.

Passo 5

Aplicando a fórmula com n=-11:
\int u^{-11}\,du = \frac{u^{-11+1}}{-11+1} + C = \frac{u^{-10}}{-10} + C.
Simplificando a constante multiplicativa:
\frac{u^{-10}}{-10} = -\frac{1}{10}\,u^{-10} = -\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{u^{10}}.

Passo 6

Voltar à variável x: lembrando que u=x-2, substitui-se de volta:
F(x) = -\frac{1}{10}\,(x-2)^{-10} + C = -\frac{1}{10(x-2)^{10}} + C.
Verificação rápida (opcional, mas bom para ficar confiante): derivando F(x),
F'(x) = -\frac{1}{10}\cdot(-10)(x-2)^{-11}\cdot\frac{d}{dx}(x-2) = (x-2)^{-11},
pois \dfrac{d}{dx}(x-2)=1. Isso confirma F'(x)=f(x).

Resposta

-\dfrac{1}{10(x-2)^{10}} + C

Exercícios relacionados