A barra rígida AD é articulada em A e nas extremidades B e D das barras BC de latão e DE de aço. A temperatura de BC diminui de
e a temperatura de DE aumenta de
. Desprezada a influência do peso próprio e a possibilidade de flambagem, pede-se as tensões normais nas barras BC e DE. DADOS:
Latão -
Aço
Latão -
Aço
Passo 1
O enunciado pede as tensões normais nas barras
(latão) e
(aço) quando a temperatura de
diminui
e a de
aumenta
. As informações fornecidas e os dados que peguei da figura são:
-
Dados materiais (do enunciado):
- Latão (barra
): -
, -
, -
.
-
- Aço (barra
): -
, -
, -
.
-
- Latão (barra
-
Geometria (peguei estes comprimentos/distâncias da imagem):
- comprimento inicial de
: (vertical, B para C); - comprimento inicial de
: (vertical, D para E); - distância horizontal do pivô
até : ; - distância horizontal do pivô
até : (ou seja, ).
- comprimento inicial de
-
Variações de temperatura:
-
(esfriamento), -
(aquecimento).
-
O que se pede: as tensões normais em
e
(mostrar os cálculos passo a passo).
Passo 2
Ideia física e modelo (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
-
A barra
é rígida e articulada em (pivô). Assim, quando as barras verticais e mudam de comprimento por efeito térmico e pelas forças internas, o conjunto se acomodará por rotação da barra rígida em torno de . A barra rígida não se deforma (sua geometria relativa entre A, B e D permanece fixa), mas pode rodar um pequeno ângulo em torno de . Portanto os deslocamentos verticais dos pontos e são proporcionais às suas distâncias a partir de : Aquié o deslocamento vertical do ponto do lado da barra rígida (positivo para cima se for positivo). -
Cada barra vertical tem deformação total dada pela soma da deformação mecânica (devida à força axial
) e da deformação térmica (devida a ). A relação (para pequena deformação) é: Com(positiva se alongamento) e (positiva se alongamento por aquecimento). -
Compatibilidade geométrica entre deslocamentos da barra rígida e variação de comprimento das barras: a mudança real do comprimento da barra vertical é igual à diferença de deslocamentos nas suas extremidades (a extremidade fixa dá deslocamento zero). Por exemplo, para
com o ponto fixo: E paracom fixo: -
Equilíbrio estático da barra rígida: somando momentos em torno de
(a reação em não gera momento) obtemos uma relação entre as forças axiais em e . É preciso analisar o sentido dos esforços: definimos e como as forças axiais positivas quando as barras estão em tração (tensão positiva). A força que a barra exerce na barra rígida será para baixo quando (uma barra tracionada “puxa” a peça conectada), enquanto a barra puxa para cima em quando . Tomando sinal convêncional, o equilíbrio de momentos em dá: (Explicação física: sepuxa a barra para baixo em , isso tende a girar no sentido horário; deve fornecer um puxão para cima em para anular o momento.)
Resumo: incógnitas
. Usaremos compatibilidade (liga
às
) e equilíbrio (momento) para eliminar
e
e achar
.
Passo 3
Escrever as equações de deformação para cada barra, explicando cada termo:
-
Para
: - deformação mecânica (alongamento positivo):
. - deformação térmica (alonga se
): . - mudança real do comprimento (compatibilidade):
.
Portanto:
- deformação mecânica (alongamento positivo):
-
Para
: -
Substituindo
e e dividindo por e respectivamente, obtemos que a mesma aparece nas duas equações. Colocando ambas na forma dividida por temos a condição de compatibilidade entre as duas barras:
Passo 4
Usar equilíbrio de momentos para eliminar
em favor de
:
- Momento em torno de
fornece:
Substituir isso na equação de compatibilidade do passo anterior:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Reorganizando para isolar
:
Portanto
Agora substituímos os números.
Passo 5
Cálculos numéricos (faço passo a passo para que dê para replicar na prova; uso unidades em cm e kgf/cm^2):
Primeiro, calculemos alguns termos auxiliares:
- constantes geométrico-elásticas
Calcule:
-
termos térmicos (variação livre de comprimento):(negativo porque esfriou)
-
razões geométricas:
Agora montar a fórmula numérica do passo anterior:
Denominador:
Calcule o segundo termo:
Então
Numerador:
Calcule:
Logo
Finalmente
Arredondando de forma prática para a prova,
. Note que o valor positivo indica que
ficou em tração (tensionada).
Passo 6
Obter
(da relação de momento) e as tensões:
-
.
Assim(também tração, valor positivo). -
Tensões normais (tensão = força / área):
Arredondando convenientemente:
-
(tração), -
(tração).