Uma barra é composta de uma placa de aço (
) e duas placas de cobre
. As extremidades estão unidas a placas rígidas, e o conjunto está submetido a uma carga normal axial de tração P . Todas as barras tem 4" de largura. A barra de aço tem
de espessura e as barras de cobre tem
" de espessura cada. A resistência do aço é de 80.000 psi e do cobre é 30.000 psi. Adotando um coeficiente de segurança igual a 3 , determinar o máximo valor que P pode assumir.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor máximo da carga axial de tração
que pode ser aplicada ao conjunto.
Informações relevantes fornecidas (vou listar tudo que vem do enunciado e da figura):
- Módulo de elasticidade do aço:
. - Módulo de elasticidade do cobre:
. - Largura de todas as placas:
polegadas. - Espessura da placa de aço:
polegada. - Espessura de cada placa de cobre:
polegada (há duas placas de cobre, uma em cima e outra embaixo). - Resistência (tensão admissível última) do aço:
. - Resistência do cobre:
. - Coeficiente de segurança:
. - As extremidades estão unidas a placas rígidas (logo todas as barras têm a mesma deformação axial).
- O conjunto é submetido à carga axial de tração
.
Passo 2
Ideia física e variáveis que vamos usar (passo didático):
- Como as barras estão em paralelo e as extremidades são rígidas, todas têm a mesma deformação axial (mesma
). Isso é essencial. - Para cada material vale a lei de Hooke em tensão normal:
, onde: -
é a tensão no material (em ), -
é o módulo de elasticidade do material (em ), -
é a deformação axial (adimensional).
-
- A força (axial) em cada barra é
, onde é a área da seção transversal da barra (em ). - A força total
aplicada ao conjunto é a soma das forças nas três barras: - Portanto, para determinar
precisamos da maior que não provoque o excesso de tensão em nenhum material (considerando o coeficiente de segurança).
Passo 3
Cálculo das tensões admissíveis (dividindo as resistências pelo coeficiente de segurança). Fórmula:
- Para o aço:
- Para o cobre:
Passo 4
Cálculo das deformações correspondentes às tensões admissíveis em cada material (vamos ver qual material limita). Fórmula:
- Para o aço:
- Para o cobre:
Observação: a menor deformação admissível é a que realmente limita o conjunto, porque todas as barras têm a mesma
. Assim, o cobre limita o conjunto, pois
. Logo a máxima deformação que o conjunto pode ter é
Passo 5
Cálculo das áreas das seções transversais (peguei os espessuras e a largura da figura/enunciado):
- Peguei da imagem/enunciado: largura
, espessura do aço , espessura de cada cobre . - Área da placa de aço:
- Área de cada placa de cobre:
Passo 6
Expressão para
em função de
e avaliação em
.
Fórmula geral:
Calcule os produtos
:
Somando (lembre que há duas placas de cobre):
Agora use
:
(Arredondei o resultado para três casas significativas quando apresento a forma científica.)
Passo 7
Verificação: tensão no aço para
para confirmar que o aço permanece seguro.
Comparando com
, vemos que a tensão no aço está abaixo da admissível, logo a verificação está OK. Isso confirma que o cobre é o elemento limitante.