Uma barra é composta de uma placa de aço ( \mathrm{E}=30 \times 10^{6} \mathrm{psi} ) e duas placas de cobre \left(\mathrm{E}=13 \times 10^{6} \mathrm{psi}\right). As extremidades estão unidas a placas rígidas, e o conjunto está submetido a uma carga normal axial de tração P . Todas as barras tem 4" de largura. A barra de aço tem \frac{3}{4}^{\prime \prime} de espessura e as barras de cobre tem 1^{\prime \prime} " de espessura cada. A resistência do aço é de 80.000 psi e do cobre é 30.000 psi. Adotando um coeficiente de segurança igual a 3 , determinar o máximo valor que P pode assumir.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor máximo da carga axial de tração P que pode ser aplicada ao conjunto.
Informações relevantes fornecidas (vou listar tudo que vem do enunciado e da figura):
  • Módulo de elasticidade do aço: E_{\text{aço}}=30\times10^{6}\\ \text{psi}ç.
  • Módulo de elasticidade do cobre: E_{\text{cobre}}=13\times10^{6}\\ \text{psi}.
  • Largura de todas as placas: 4 polegadas.
  • Espessura da placa de aço: \tfrac{3}{4} polegada.
  • Espessura de cada placa de cobre: 1 polegada (há duas placas de cobre, uma em cima e outra embaixo).
  • Resistência (tensão admissível última) do aço: 80\,000\\ \text{psi}.
  • Resistência do cobre: 30\,000\\ \text{psi}.
  • Coeficiente de segurança: n=3.
  • As extremidades estão unidas a placas rígidas (logo todas as barras têm a mesma deformação axial).
  • O conjunto é submetido à carga axial de tração P.

Passo 2

Ideia física e variáveis que vamos usar (passo didático):
  • Como as barras estão em paralelo e as extremidades são rígidas, todas têm a mesma deformação axial (mesma \varepsilon). Isso é essencial.
  • Para cada material vale a lei de Hooke em tensão normal: \sigma = E\varepsilon, onde:
    • \sigma é a tensão no material (em \text{psi}),
    • E é o módulo de elasticidade do material (em \text{psi}),
    • \varepsilon é a deformação axial (adimensional).
  • A força (axial) em cada barra é F = \sigma A = E\varepsilon A, onde A é a área da seção transversal da barra (em \text{in}^2).
  • A força total P aplicada ao conjunto é a soma das forças nas três barras: P = \varepsilon\bigl(E_{\text{aço}}A_{\text{aço}} + E_{\text{cobre}}A_{\text{cobre}_1} + E_{\text{cobre}}A_{\text{cobre}_2}\bigr).çç
  • Portanto, para determinar P_{\max} precisamos da maior \varepsilon que não provoque o excesso de tensão em nenhum material (considerando o coeficiente de segurança).

Passo 3

Cálculo das tensões admissíveis (dividindo as resistências pelo coeficiente de segurança). Fórmula:
\sigma_{\text{adm}}=\frac{\sigma_{\text{resist}}}{n}.
  • Para o aço:
\sigma_{\text{adm, aço}}=\frac{80\,000}{3}=26\,666,67\\ \text{psi}.ç
  • Para o cobre:
\sigma_{\text{adm, cobre}}=\frac{30\,000}{3}=10\,000\\ \text{psi}.

Passo 4

Cálculo das deformações correspondentes às tensões admissíveis em cada material (vamos ver qual material limita). Fórmula:
\varepsilon_{\text{adm}}=\frac{\sigma_{\text{adm}}}{E}.
  • Para o aço:
\varepsilon_{\text{adm, aço}}=\frac{26\,666,67}{30\times10^{6}}=0,000888889\approx8,8889\times10^{-4}.ç
  • Para o cobre:
\varepsilon_{\text{adm, cobre}}=\frac{10\,000}{13\times10^{6}}=0,000769231\approx7,6923\times10^{-4}.
Observação: a menor deformação admissível é a que realmente limita o conjunto, porque todas as barras têm a mesma \varepsilon. Assim, o cobre limita o conjunto, pois \varepsilon_{\text{adm, cobre}}<\varepsilon_{\text{adm, aço}}ç. Logo a máxima deformação que o conjunto pode ter é \varepsilon_{\max}=\varepsilon_{\text{adm, cobre}}.

Passo 5

Cálculo das áreas das seções transversais (peguei os espessuras e a largura da figura/enunciado):
  • Peguei da imagem/enunciado: largura =4\\ \text{in}, espessura do aço =\tfrac{3}{4}\\ \text{in}, espessura de cada cobre =1\\ \text{in}.
  • Área da placa de aço:
A_{\text{aço}}=4\cdot\tfrac{3}{4}=3\\ \text{in}^2.ç
  • Área de cada placa de cobre:
A_{\text{cobre}}=4\cdot1=4\\ \text{in}^2.

Passo 6

Expressão para P em função de \varepsilon e avaliação em \varepsilon_{\max}=\varepsilon_{\text{adm, cobre}}.
Fórmula geral:
P=\varepsilon\bigl(E_{\text{aço}}A_{\text{aço}} + 2E_{\text{cobre}}A_{\text{cobre}}\bigr).çç
Calcule os produtos E\cdot A:
E_{\text{aço}}A_{\text{aço}}=30\times10^{6}\cdot3=90\times10^{6}.çç
E_{\text{cobre}}A_{\text{cobre}}=13\times10^{6}\cdot4=52\times10^{6}.
Somando (lembre que há duas placas de cobre):
E_{\text{aço}}A_{\text{aço}} + 2E_{\text{cobre}}A_{\text{cobre}}=90\times10^{6} + 2\cdot52\times10^{6}=194\times10^{6}.çç
Agora use \varepsilon_{\max}=\varepsilon_{\text{adm, cobre}}=0,000769231:
P_{\max}=0,000769231\cdot194\times10^{6}=149\,230,77\\ \text{lbf}\approx1,4923\times10^{5}\\ \text{lbf}.
(Arredondei o resultado para três casas significativas quando apresento a forma científica.)

Passo 7

Verificação: tensão no aço para \varepsilon_{\max} para confirmar que o aço permanece seguro.
\sigma_{\text{aço}}=E_{\text{aço}}\varepsilon_{\max}=30\times10^{6}\cdot0,000769231=23\,076,92\\ \text{psi}.çç
Comparando com \sigma_{\text{adm, aço}}=26\,666,67\\ \text{psi}ç, vemos que a tensão no aço está abaixo da admissível, logo a verificação está OK. Isso confirma que o cobre é o elemento limitante.

Resposta

P_{\max}=1,4923\times10^{5}\\ \text{lbf}

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