Os arames de aço BE e DF com 30 mm de diâmetro ( \mathrm{E}_{\text {aço }}=200 \mathrm{GPa}ç ) estão esticados na ocasião da aplicação das cargas concentrada de 3500 N em C e distribuída entre B e D de 2,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Considerandose rígida a barra AD , determine a tensão em cada arame e o deslocamento do ponto D.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que aparece e o que o problema pede):\n
  • Dois arames de aço BE e DF com diâmetro 30\\ \mathrm{mm}.\n
  • Módulo de Young do aço \;E_{\text{aço}}=200\\ \mathrm{GPa}ç.\n
  • Há uma carga concentrada de 3500\\ \mathrm{N} aplicada em C.\n
  • Há uma carga distribuída de 2{,}5\\ \mathrm{kN/m} "entre B e D".\n
  • A barra AD é rígida (ou seja, comporta-se como corpo rígido: só se desloca e/ou gira como um conjunto).\n
  • Pergunta: determinar a tensão em cada arame e o deslocamento do ponto D.\n
    Observação importante: o enunciado refere-se a pontos A,B,C,D,E,F e a posição geométrica relativa entre eles (comprimentos dos arames, posições ao longo da barra, comprimentos sobre os quais a carga distribuída atua, altura/verticalidade dos arames, etc.). Essa informação geométrica (a figura com distâncias/posição) não foi enviada. Sem esses dados geométricos não é possível obter valores numéricos únicos para as tensões e para o deslocamento de D.\n

Passo 2

O que falta e por que é necessário: \n
Para resolver numericamente precisamos saber ao menos: \n
  • As posições ao longo da barra AD onde os arames se ligam: as coordenadas (ou distâncias medidas ao longo de AD) de B e de D (vou chamar de x_B e x_D, medidas a partir de uma referência na barra, por exemplo A).\n
  • Os comprimentos iniciais dos arames BE e DF (vou chamar de L_{1} e L_{2}).\n
  • A posição da carga concentrada em C ao longo da barra (distância x_C a partir de A).\n
  • O comprimento sobre o qual a carga distribuída de 2{,}5\\ \mathrm{kN/m} atua (vou chamar de L_w) e a posição desse carregamento (ou seja, sua resultante e sua linha de ação). \n
    Sem esses valores não existe um único sistema de equações numérico que possamos resolver. Portanto não posso dar números finais agora. \n

Passo 3

Vou ensinar passo a passo o método que você deve aplicar quando tiver a figura/dimensões. Vou definir símbolos e calcular quantidades que já são possíveis com os dados que você deu (diâmetro e E), e depois mostrar as equações a montar.\n
Definições e cálculo da seção e da rigidez axial dos arames:\n
  • Diâmetro do arame: \;d=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.\n
  • Área transversal de cada arame: \n A=\frac{\pi d^{2}}{4}.\n
Substituindo \;d=0{,}03\\ \mathrm{m}, temos\n A=\frac{\pi (0{,}03)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}000225 \approx 7{,}069\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.\n
  • Módulo de Young: \;E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}.\n
  • Rigidez axial (constante de mola axial) de cada arame j é \;k_{j}=\dfrac{A E}{L_{j}}, onde \;L_{j} é o comprimento inicial do arame j.\n
Comentário didático: a relação linear para um arame axial é a Lei de Hooke na forma estrutural. Se a variação de comprimento do arame for \Delta L, a força axial é\n F = \frac{A E}{L}\,\Delta L.\n
Aqui \;A é a área, \;E é o módulo de Young, \;L é o comprimento inicial do elemento e \Delta L é a variação de comprimento (alonga/encolhe). Essa fórmula é essencial: ela dá a relação entre força e deslocamento axial.\n

Passo 4

Como montar as equações de equilíbrio (parte estática):\n
  • Chame de F_{1} a força axial no arame BE e de F_{2} a força axial no arame DF. Vamos adotar sinal positivo para forças de tração (tensão).\n
  • Equilíbrio vertical (somatório de forças verticais = 0): as tensões nos arames compõem as reações verticais que equilibram as cargas externas. Em forma simbólica:\n F_{1}+F_{2}=P + W,\nonde \;P=3500\\ \mathrm{N} é a carga concentrada em C e \;W é a resultante da carga distribuída (por exemplo W=w\cdot L_{w} com w=2{,}5\\ \mathrm{kN/m}).\n
  • Equilíbrio de momento (somatório de momentos em torno de um ponto, por exemplo A, = 0): as forças nos arames produzem momentos que equilibram os momentos das cargas externas. Em forma simbólica:\n F_{1} x_{B} + F_{2} x_{D} = P x_{C} + W x_{W},\nonde x_{B},x_{D},x_{C} são as distâncias horizontais (ou ao longo da barra) de A até os pontos B,D,C respectivamente, e x_{W} é a posição da resultante da carga distribuída (o baricentro da distribuição, medido a partir de A).\n
Comentário didático: com duas incógnitas F_{1} e F_{2} podemos escrever duas equações estáticas (forças e momentos). Entretanto, quando o suporte tem deformação (os arames se esticam), as equações de equilíbrio sozinhas não são suficientes: é preciso compatibilidade entre as deformações (condição de deslocamento da barra rígida). Por isso precisamos das relações entre F_{1},F_{2} e os deslocamentos do corpo rígido.\n

Passo 5

Compatibilidade geométrica (parte cinemática) para a barra rígida:\n
  • Como a barra AD\) é rígida, seu deslocamento vertical ao longo do eixo pode ser descrito por uma translação vertical \(u_{0}\) (mesmo para todo o ponto de referência) mais uma pequena rotação \(\theta\) em torno de um ponto de referência. Para um ponto da barra situado a uma distância \(x\) de \(A\) (medida ao longo da barra), o deslocamento vertical é aproximadamente\n\[u(x)=u_{0}+\theta\,x.\n
  • Se os arames são (ou podem ser aproximados como) verticais e o outro extremo está fixo (no chão ou estrutura), então a variação de comprimento do arame j que liga a barra ao ponto fixo é aproximadamente \Delta L_{j}=u(x_{j}) (sinal e orientação devem ser escolhidos consistentemente). A força no arame é então\n F_{j}=k_{j}\,u(x_{j})=\frac{A E}{L_{j}}\bigl(u_{0}+\theta x_{j}\bigr).\n
  • Agora substituímos essas expressões de F_{1} e F_{2} nas equações de equilíbrio (Passo 4). Isso gera um sistema linear em u_{0} e \theta:\n \begin{cases} k_{1}\bigl(u_{0}+\theta x_{B}\bigr)+k_{2}\bigl(u_{0}+\theta x_{D}\bigr)=P+W,\\[6pt] k_{1}\bigl(u_{0}+\theta x_{B}\bigr)x_{B}+k_{2}\bigl(u_{0}+\theta x_{D}\bigr)x_{D}=P x_{C} + W x_{W}. \end{cases}\n
  • Esse sistema de duas equações e duas incógnitas ( u_{0}\] e \(\theta) é o que permite encontrar os deslocamentos rígidos da barra levando em conta a elasticidade dos arames. Depois de obter u_{0} e \theta, as forças são F_{j}=k_{j}(u_{0}+\theta x_{j}). As tensões são\n \sigma_{j}=\frac{F_{j}}{A}.\n
  • O deslocamento do ponto D é u_{D}=u(x_{D})=u_{0}+\theta x_{D}.\n
    Comentário didático: resumindo, a sequência lógica é: (1) expressar forças nos arames em função dos deslocamentos do corpo rígido usando F_{j}=k_{j}(u_{0}+\theta x_{j}); (2) inserir em equilíbrio de forças e momentos; (3) resolver para u_{0} e \theta; (4) obter F_{j}, \sigma_{j} e u_{D}.\n]

Passo 6

Como resolver o sistema na prática (passo a passo numérico, quando você tiver as dimensões):\n
  1. Calcule A como no Passo 3 e k_{j}=\dfrac{AE}{L_{j}} para j=1,2.\n
  2. Calcule P e W. Para a carga distribuída w=2{,}5\\ \mathrm{kN/m}=2500\\ \mathrm{N/m} sobre um comprimento L_{w}, a resultante é W=w L_{w} e sua posição é x_{W}=x_{\text{início}}+L_{w}/2í (posição do centróide da distribuição).\n
  3. Monte as duas equações lineares em u_{0} e \theta do Passo 5. Escrevendo de forma matricial:\n \begin{pmatrix} k_{1}+k_{2} & k_{1}x_{B}+k_{2}x_{D} \\\ k_{1}x_{B}+k_{2}x_{D} & k_{1}x_{B}^{2}+k_{2}x_{D}^{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{0} \\[4pt] \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P+W \\[4pt] P x_{C} + W x_{W} \end{pmatrix}.\n
  4. Inverta a matriz 2\times2 (ou use eliminação/Cramer) para obter u_{0} e \theta.\n
  5. Calcule então F_{j}=k_{j}(u_{0}+\theta x_{j}), \sigma_{j}=F_{j}/A e u_{D}=u_{0}+\theta x_{D}.\n
    Observação sobre sinais e orientações: deve-se tomar cuidado com o sinal adotado para deslocamentos positivos (para cima ou para baixo) e com o sentido positivo de momentos; manter consistência assegura que o cálculo dê sinais físicos corretos (tração positiva nas cordas se as chaves físicas assim definirem).\n]

Passo 7

Exemplo simbólico (mostra o resultado em termos das quantidades faltantes) — isto é útil para conferir quando você souber as dimensões: \n
  • Área já calculada: \;A\approx 7{,}069\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.\n
  • Defina k_{1}=\dfrac{AE}{L_{1}}, k_{2}=\dfrac{AE}{L_{2}}.\n
  • Resolva o sistema matricial do Passo 6 para obter u_{0} e \theta. Depois:\n F_{1}=k_{1}(u_{0}+\theta x_{B}),\qquad F_{2}=k_{2}(u_{0}+\theta x_{D}),\n \sigma_{1}=\frac{F_{1}}{A},\qquad \sigma_{2}=\frac{F_{2}}{A},\qquad u_{D}=u_{0}+\theta x_{D}.\n
Quando você me mandar a figura (ou as distâncias: L_{1},L_{2},x_{B},x_{D},x_{C},L_{w} e a posição da distribuição), eu faço esses cálculos numéricos para você passo a passo, mostrando cada conta simplificada que você poderá reproduzir na prova.\n

Resposta

Não é possível determinar numericamente as tensões em BE e DF nem o deslocamento de D porque a figura/posições e comprimentos necessários não foram fornecidos (faltam L_{BE},L_{DF},x_{B},x_{D},x_{C} e o comprimento/posição da carga distribuída).

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