Os arames de aço BE e DF com 30 mm de diâmetro (
) estão esticados na ocasião da aplicação das cargas concentrada de 3500 N em C e distribuída entre B e D de
. Considerandose rígida a barra AD , determine a tensão em cada arame e o deslocamento do ponto D.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que aparece e o que o problema pede):\n
- Dois arames de aço
e com diâmetro .\n - Módulo de Young do aço
.\n - Há uma carga concentrada de
aplicada em .\n - Há uma carga distribuída de
"entre e ".\n - A barra
é rígida (ou seja, comporta-se como corpo rígido: só se desloca e/ou gira como um conjunto).\n - Pergunta: determinar a tensão em cada arame e o deslocamento do ponto
.\n
Observação importante: o enunciado refere-se a pontose a posição geométrica relativa entre eles (comprimentos dos arames, posições ao longo da barra, comprimentos sobre os quais a carga distribuída atua, altura/verticalidade dos arames, etc.). Essa informação geométrica (a figura com distâncias/posição) não foi enviada. Sem esses dados geométricos não é possível obter valores numéricos únicos para as tensões e para o deslocamento de .\n
Passo 2
O que falta e por que é necessário: \n
Para resolver numericamente precisamos saber ao menos: \n
Para resolver numericamente precisamos saber ao menos: \n
- As posições ao longo da barra
onde os arames se ligam: as coordenadas (ou distâncias medidas ao longo de ) de e de (vou chamar de e , medidas a partir de uma referência na barra, por exemplo ).\n - Os comprimentos iniciais dos arames
e (vou chamar de e ).\n - A posição da carga concentrada em
ao longo da barra (distância a partir de ).\n - O comprimento sobre o qual a carga distribuída de
atua (vou chamar de ) e a posição desse carregamento (ou seja, sua resultante e sua linha de ação). \n
Sem esses valores não existe um único sistema de equações numérico que possamos resolver. Portanto não posso dar números finais agora. \n
Passo 3
Vou ensinar passo a passo o método que você deve aplicar quando tiver a figura/dimensões. Vou definir símbolos e calcular quantidades que já são possíveis com os dados que você deu (diâmetro e
), e depois mostrar as equações a montar.\n
Definições e cálculo da seção e da rigidez axial dos arames:\n
Definições e cálculo da seção e da rigidez axial dos arames:\n
- Diâmetro do arame:
\n - Área transversal de cada arame: \n
\n
Substituindo
, temos\n
\n
- Módulo de Young:
\n - Rigidez axial (constante de mola axial) de cada arame
é , onde é o comprimento inicial do arame .\n
Comentário didático: a relação linear para um arame axial é a Lei de Hooke na forma estrutural. Se a variação de comprimento do arame for
, a força axial é\n
\n
Aqui
é a área,
é o módulo de Young,
é o comprimento inicial do elemento e
é a variação de comprimento (alonga/encolhe). Essa fórmula é essencial: ela dá a relação entre força e deslocamento axial.\n
Passo 4
Como montar as equações de equilíbrio (parte estática):\n
- Chame de
a força axial no arame e de a força axial no arame . Vamos adotar sinal positivo para forças de tração (tensão).\n - Equilíbrio vertical (somatório de forças verticais = 0): as tensões nos arames compõem as reações verticais que equilibram as cargas externas. Em forma simbólica:\n
\nonde é a carga concentrada em e é a resultante da carga distribuída (por exemplo com ).\n - Equilíbrio de momento (somatório de momentos em torno de um ponto, por exemplo
, = 0): as forças nos arames produzem momentos que equilibram os momentos das cargas externas. Em forma simbólica:\n \nonde são as distâncias horizontais (ou ao longo da barra) de até os pontos respectivamente, e é a posição da resultante da carga distribuída (o baricentro da distribuição, medido a partir de ).\n
Comentário didático: com duas incógnitas
e
podemos escrever duas equações estáticas (forças e momentos). Entretanto, quando o suporte tem deformação (os arames se esticam), as equações de equilíbrio sozinhas não são suficientes: é preciso compatibilidade entre as deformações (condição de deslocamento da barra rígida). Por isso precisamos das relações entre
e os deslocamentos do corpo rígido.\n
Passo 5
Compatibilidade geométrica (parte cinemática) para a barra rígida:\n
- Como a barra \n
- Se os arames são (ou podem ser aproximados como) verticais e o outro extremo está fixo (no chão ou estrutura), então a variação de comprimento do arame
que liga a barra ao ponto fixo é aproximadamente (sinal e orientação devem ser escolhidos consistentemente). A força no arame é então\n \n - Agora substituímos essas expressões de
e nas equações de equilíbrio (Passo 4). Isso gera um sistema linear em e :\n \n - Esse sistema de duas equações e duas incógnitas (
) é o que permite encontrar os deslocamentos rígidos da barra levando em conta a elasticidade dos arames. Depois de obter
e , as forças são . As tensões são\n \n - O deslocamento do ponto
é .\n
Comentário didático: resumindo, a sequência lógica é: (1) expressar forças nos arames em função dos deslocamentos do corpo rígido usando; (2) inserir em equilíbrio de forças e momentos; (3) resolver para e ; (4) obter , e .\n]
Passo 6
Como resolver o sistema na prática (passo a passo numérico, quando você tiver as dimensões):\n
- Calcule
como no Passo 3 e para .\n - Calcule
e . Para a carga distribuída sobre um comprimento , a resultante é e sua posição é (posição do centróide da distribuição).\n - Monte as duas equações lineares em
e do Passo 5. Escrevendo de forma matricial:\n \n - Inverta a matriz
(ou use eliminação/Cramer) para obter e .\n - Calcule então
, e .\n
Observação sobre sinais e orientações: deve-se tomar cuidado com o sinal adotado para deslocamentos positivos (para cima ou para baixo) e com o sentido positivo de momentos; manter consistência assegura que o cálculo dê sinais físicos corretos (tração positiva nas cordas se as chaves físicas assim definirem).\n]
Passo 7
Exemplo simbólico (mostra o resultado em termos das quantidades faltantes) — isto é útil para conferir quando você souber as dimensões: \n
- Área já calculada:
.\n - Defina
, .\n - Resolva o sistema matricial do Passo 6 para obter
e . Depois:\n \n \n
Quando você me mandar a figura (ou as distâncias:
e a posição da distribuição), eu faço esses cálculos numéricos para você passo a passo, mostrando cada conta simplificada que você poderá reproduzir na prova.\n
Resposta
Não é possível determinar numericamente as tensões em
e
nem o deslocamento de
porque a figura/posições e comprimentos necessários não foram fornecidos (faltam
e o comprimento/posição da carga distribuída).