Questão 3 (
pontos) - Determine a maior intensidade p da carga distribuida que a viga pode suportar, uma vez que os apoios A e B conseguem receber uma solicitação vertical máxima de 35 e 50 kN , respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a maior intensidade
(em
) da carga distribuída que a viga pode suportar, sabendo que os apoios
e
suportam, no máximo, reações verticais de
e
, respectivamente.
Informações fornecidas (extraí da figura):
- Viga simplesmente apoiada em
(esquerda) e (direita), comprimento total dividido em três trechos de cada. - Há duas cargas concentradas para baixo de
cada, localizadas em e em medidas a partir de . - Há uma carga distribuída triangular no trecho
a : intensidade varia linearmente de em até (em ) em . - Há uma carga distribuída uniforme de intensidade
no trecho a (comprimento ). - Máximos admissíveis das reações:
e .
Objetivo operacional: escrever reações
e
em função de
, aplicar os limites dados e achar o maior
que satisfaça ambos.
Passo 2
Vamos calcular as cargas resultantes das distribuições (módulos e posições de ataque) de forma explícita e didática.
- Triangular no trecho
a (intensidade cresce de até ):
- Para uma carga triangular com base
e altura (lado com intensidade zero em ), a resultante é
Aqui
, logo
- A posição da resultante (braço a partir de
) fica a uma distância
do extremo onde a intensidade é zero. Assim
(Obs.: derivei isso lembrando que para
temos
e momento
, daí
.)
- Carga uniforme de intensidade
no trecho a (comprimento ):
- Resultante
- Centroide desse trecho está no ponto médio de
a , ou seja, a de . Então
- Cargas concentradas:
- Duas forças
em e .
Resumo das cargas (todas para baixo):
- Triangular: carga
atuando em . - Uniform no trecho direito: carga
atuando em . - Concentrados:
em e em .
Passo 3
Equilíbrio vertical (somatório das forças verticais = 0):
se tomarmos reações positivas para cima,
se tomarmos reações positivas para cima,
onde
Passo 4
Equilíbrio de momentos em relação a
(somatório dos momentos das cargas em relação a
=
vezes
):
Calculemos os momentos das cargas conhecidas:
- Momentos das cargas concentradas:
Soma =
.
- Momento da carga uniforme
em :
- Momento da carga triangular
em :
Somando momentos das cargas:
Assim
logo
Passo 5
Simplificamos a expressão para
:
Passo 6
Usando
, obtemos
:
Calculemos o coeficiente de
:
Logo
Confirmamos que
, consistente com
.
Passo 7
Agora impomos as restrições dos máximos admissíveis:
- Para o apoio
:
Resolvendo:
- Para o apoio
:
Resolvendo:
Passo 8
Comparamos os dois limites obtidos:
O valor mais restritivo (menor) é
. Portanto o maior
admissível é