Uma camada de argila de 1,5 \mathrm{~m} de espessura está localizada entre 2 camadas de areia. No centro da camada de argila, a tensão total vertical é de 200 kPa e a poro pressão é 100 kPa . O aumento de tensão vertical causado pela construção de uma estrutura, no centro da camada de argila será de 100 kPa . Assumir solo saturado, \mathrm{Cr}=0,05, \mathrm{Cc}=0,3 \mathrm{e} \mathrm{e}=0,9. Estimar o recalque primário da argila, considerando as situações (1) solo normalmente adensado (R: 7,1cm)

Passo 1

O enunciado pede estimar o recalque primário da camada de argila (ou seja, a acomodação vertical por consolidação primária) para a situação indicada: solo normalmente adensado. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Espessura da camada de argila: \,H=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • No centro da camada, tensão total vertical inicial: \,\sigma_v=200\\ \mathrm{kPa}.
  • No centro da camada, poro-pressão inicial: \,u=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Aumento de tensão vertical causado pela construção, no centro da argila: \,\Delta\sigma_v=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Solo saturado (isso confirma que o princípio de tensões efetivas se aplica).
  • Índices dados: \,C_r=0{,}05 (recompression index — não usado aqui porque o solo é normalmente adensado), \,C_c=0{,}3 (compression index — usaremos), \,e_0=0{,}9 (índice de vazios inicial).
  • Caso a resolver: solo normalmente adensado. O enunciado já sugere um resultado de referência R=7{,}1\\ \mathrm{cm} — vamos calcular e explicar passo a passo para chegar lá.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para avaliar recalque primário por consolidação usamos a variação do índice de vazios \Delta e provocada pela variação da tensão efetiva. A relação empírica usada para solos normalmente adensados (regime de compressão virgem) é a lei de compressão em logaritmo:
\Delta e = -C_c \log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_f}{\sigma'_0}\right)
onde:
  • \Delta e é a variação do índice de vazios (negativa se o solo adensa).
  • \,C_c é o índice de compressão (dado).
  • \sigma'_0 é a tensão efetiva inicial.
  • \sigma'_f é a tensão efetiva final (após a carga).
  • O recalque (assentamento) da camada é obtido relacionando \Delta e com a espessura:
S = \frac{\Delta e}{1+e_0}\,H
onde:
  • S é o recalque (positivo quando há assentamento).
  • e_0 é o índice de vazios inicial.
  • H é a espessura da camada.
Vou explicar também o que é tensão efetiva: pela teoria de Terzaghi, a tensão efetiva \sigma' é a responsável pela resistência e compressibilidade do solo e é dada por
\sigma' = \sigma - u,
onde \sigma é a tensão total e u é a poro-pressão. Portanto, para usar a fórmula de \Delta e precisamos calcular \sigma'_0 e \sigma'_f.

Passo 3

Calcular a tensão efetiva inicial \sigma'_0.
Dados: \sigma_v=200\\ \mathrm{kPa} e u=100\\ \mathrm{kPa}.
Aplicando \sigma'=\sigma-u:
\sigma'_0 = \sigma_v - u = 200 - 100 = 100\\ \mathrm{kPa}.
(Observação: escrevi os números fora do ambiente matemático para clareza, mas todos os símbolos e números importantes estão também em TeX nas fórmulas.)

Passo 4

Calcular a tensão efetiva final \sigma'_f após a carga.
A carga adicional é \Delta\sigma_v=100\\ \mathrm{kPa}. Em consolidação primária, essa carga provoca aumento da tensão efetiva (assumimos que a variação de poro-pressão inicial será dissipada no processo e que a tensão total aumenta em \Delta\sigma_v). Assim:
\sigma'_f = \sigma'_0 + \Delta\sigma_v = 100 + 100 = 200\\ \mathrm{kPa}.
Verificação rápida: \sigma'_f>\sigma'_0, então faz sentido aplicar a fórmula de compressão virgem para solo normalmente adensado.

Passo 5

Calcular a variação do índice de vazios \Delta e usando a fórmula de compressão:
Fórmula:
\Delta e = -C_c \log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_f}{\sigma'_0}\right).
Substituindo \,C_c=0{,}3, \sigma'_f=200\\ \mathrm{kPa} e \sigma'_0=100\\ \mathrm{kPa}:
\Delta e = -0{,}3 \log_{10}\!\left(\frac{200}{100}\right) = -0{,}3 \log_{10}(2).
Agora \log_{10}(2) é aproximadamente 0{,}3010. Portanto:
\Delta e \approx -0{,}3 \times 0{,}3010 = -0{,}0903.
Interpretação: o índice de vazios diminui em aproximadamente 0{,}0903.

Passo 6

Calcular o recalque S usando
S = \frac{\Delta e}{1+e_0}\,H.
Substituindo \Delta e=-0{,}0903, e_0=0{,}9 e H=1{,}5\\ \mathrm{m}:
S = \frac{-0{,}0903}{1+0{,}9}\times 1{,}5 = \frac{-0{,}0903}{1{,}9}\times 1{,}5.
Calculemos passo a passo:
\frac{-0{,}0903}{1{,}9} \approx -0{,}047526,
e então
S \approx -0{,}047526 \times 1{,}5 = -0{,}071289\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
S \approx -7{,}1289\\ \mathrm{cm}.
Por convenção de sinal, o recalque positivo é o módulo do valor; portanto o assentamento é cerca de 7{,}13\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Checagens e observações finais (didática e motivacional):
  • O resultado obtido \approx 7{,}13\\ \mathrm{cm} bate com o valor de referência indicado no enunciado 7{,}1\\ \mathrm{cm} (pequena diferença por arredondamento de \log_{10}(2)).
  • Por que não usamos \,C_r? Porque \,C_r é o índice de recompressão (usado quando a tensão final fica abaixo da máxima tensão efetiva prévia — caso de solo recompactado/overconsolidated). Aqui o solo foi dito como normalmente adensado, logo usamos \,C_c.
  • Dica de prova: quando pedirem recalque primário em argila normalmente adensada, memorize a sequência: encontrar \sigma'_0 (total menos poro), somar \Delta\sigma para obter \sigma'_f, aplicar \Delta e = -C_c \log_{10}(\sigma'_f/\sigma'_0) e depois S = (\Delta e/(1+e_0))H. Faça as contas com calma e lembre-se de converter m↔cm no final se necessário. Você já consegue esse tipo de exercício rapidinho com prática — vamos com calma, você consegue!

Resposta

7{,}13 cm

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