3{ }^{2} Questăo (2,0 pontos)
A rotaçăo da barra AO em torno do eixo O é definida pela relaçăo
\theta=t^{3}-4 t onde \theta está em radianos e t em segundos. O colar B desliza ao longo da barra de modo que sua distância em relaçăo ao eixo O é definida por r=2.5 t^{2}-5 t^{3} onde r e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. Quando t=1 s determine: a) o módulo do vetor velocidade do colar B ; b) o módulo do vetor aceleração do colar B .

Passo 1

O enunciado pede que, para t=1\\ \text{s}, se determine:
a) o módulo do vetor velocidade do colar B;
b) o módulo do vetor aceleração do colar B.
As informações dadas pelo enunciado são:
\theta(t)=t^{3}-4t\quad\text{(em radianos)}
r(t)=2,5\,t^{2}-5\,t^{3}\quad\text{(em metros)}
onde t está em segundos.
Devemos usar essas expressões e suas derivadas temporais e avaliar tudo em t=1\\ \text{s}.

Passo 2

No plano polar (posição descrita por r e \theta) a posição do ponto é dada por \vec{r}=r\,\hat{e}_{r}, onde \hat{e}_{r} é o versor radial. Para obter velocidade e aceleração precisamos lembrar como mudam os versores com o tempo:
\dot{\hat{e}}_{r}=\dot{\theta}\,\hat{e}_{\theta},\qquad \dot{\hat{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\,\hat{e}_{r}.
Derivando \vec{r}=r\hat{e}_{r} obtemos a velocidade
\vec{v}=\dot{r}\,\hat{e}_{r}+r\dot{\theta}\,\hat{e}_{\theta}.
Aqui \dot{r} é a velocidade radial (variação de distância ao longo da barra) e r\dot{\theta} é a componente tangencial (velocidade devido à rotação). O módulo da velocidade é
\lVert \vec{v}\rVert=\sqrt{(\dot{r})^{2}+(r\dot{\theta})^{2}}.
Derivando novamente, a aceleração em coordenadas polares tem as componentes
a_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}, \qquad a_{\theta}=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta},
e o módulo da aceleração é
\lVert \vec{a}\rVert=\sqrt{a_{r}^{2}+a_{\theta}^{2}}.
Explicação curta dos termos:
  • \ddot{r} é a aceleração radial direta;
  • -r\dot{\theta}^{2} é a aceleração centrípeta (aponta para o centro quando \dot{\theta}^{2}>0);
  • r\ddot{\theta} é a aceleração tangencial pura por variação angular;
  • 2\dot{r}\dot{\theta} é o termo de correlação (efeito Coriolis em coordenadas polares) que surge porque o referencial radial se move.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de r(t) e \theta(t) simbolicamente:
r(t)=2,5\,t^{2}-5\,t^{3}
\dot{r}(t)=\frac{d}{dt}r(t)=5\,t-15\,t^{2}
\ddot{r}(t)=\frac{d^{2}}{dt^{2}}r(t)=5-30\,t
\theta(t)=t^{3}-4t
\dot{\theta}(t)=\frac{d}{dt}\theta(t)=3\,t^{2}-4
\ddot{\theta}(t)=\frac{d^{2}}{dt^{2}}\theta(t)=6\,t

Passo 4

Agora avaliamos as quantidades acima em t=1\\ \text{s}.
Calculemos r(1), \dot{r}(1), \ddot{r}(1), \dot{\theta}(1) e \ddot{\theta}(1):
r(1)=2,5\cdot 1^{2}-5\cdot 1^{3}=2,5-5=-2,5\\ \text{m}
(obs.: o sinal negativo indica que, segundo a função dada, o ponto estaria do “outro lado” do polo; matematicamente seguimos normalmente)
\dot{r}(1)=5\cdot 1-15\cdot 1^{2}=5-15=-10\\ \text{m/s}
\ddot{r}(1)=5-30\cdot 1=5-30=-25\\ \text{m/s}^{2}
\dot{\theta}(1)=3\cdot 1^{2}-4=3-4=-1\\ \text{rad/s}
\ddot{\theta}(1)=6\cdot 1=6\\ \text{rad/s}^{2}

Passo 5

Cálculo do módulo da velocidade \lVert \vec{v}\rVert em t=1.
Usamos a fórmula
\lVert \vec{v}\rVert=\sqrt{(\dot{r})^{2}+(r\dot{\theta})^{2}}.
Substituindo os valores em t=1:
\dot{r}(1)=-10\quad\Rightarrow\quad(\dot{r}(1))^{2}=(-10)^{2}=100
r(1)\dot{\theta}(1)=(-2,5)\cdot(-1)=2,5\quad\Rightarrow\quad (r(1)\dot{\theta}(1))^{2}=(2,5)^{2}=6,25
Somando e extraindo raiz:
\lVert \vec{v}\rVert=\sqrt{100+6,25}=\sqrt{106,25}\approx 10,31\\ \text{m/s}.

Passo 6

Cálculo do módulo da aceleração \lVert \vec{a}\rVert em t=1.
Primeiro achamos as componentes a_{r} e a_{\theta} usando
a_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2},\qquad a_{\theta}=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}.
Substituindo os valores em t=1:
Calcule a_{r}:
\ddot{r}(1)=-25
r(1)\dot{\theta}(1)^{2}=(-2,5)\cdot(-1)^{2}=(-2,5)\cdot 1=-2,5
a_{r}=-25 - (-2,5)=-25+2,5=-22,5\\ \text{m/s}^{2}
Calcule a_{\theta}:
r(1)\ddot{\theta}(1)=(-2,5)\cdot 6=-15
2\dot{r}(1)\dot{\theta}(1)=2\cdot(-10)\cdot(-1)=20
a_{\theta}=-15+20=5\\ \text{m/s}^{2}
Agora o módulo:
\lVert \vec{a}\rVert=\sqrt{a_{r}^{2}+a_{\theta}^{2}}=\sqrt{(-22,5)^{2}+5^{2}}=\sqrt{506,25+25}=\sqrt{531,25}\approx 23,05\\ \text{m/s}^{2}.

Resposta

\lVert \vec{v}\rVert \approx 10{,}31\\ \text{m/s}
\lVert \vec{a}\rVert \approx 23{,}05\\ \text{m/s}^{2}

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