Questăo (2,0 pontos)
A rotaçăo da barra AO em torno do eixo O é definida pela relaçăo
\theta=t^{3}-4 t onde \theta está em radianos e t em segundos. O colar B desliza ao longo da barra de modo que sua distância em relaçăo ao eixo O é definida por r=2.5 t^{2}-5 t^{3} onde r e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. Quando t=1 s determine: a) o módulo do vetor velocidade do colar B ; b) o módulo do vetor aceleração do colar B .
A rotaçăo da barra AO em torno do eixo O é definida pela relaçăo
\theta=t^{3}-4 t onde \theta está em radianos e t em segundos. O colar B desliza ao longo da barra de modo que sua distância em relaçăo ao eixo O é definida por r=2.5 t^{2}-5 t^{3} onde r e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. Quando t=1 s determine: a) o módulo do vetor velocidade do colar B ; b) o módulo do vetor aceleração do colar B .
Passo 1
O enunciado pede que, para
, se determine:
a) o módulo do vetor velocidade do colar ;
b) o módulo do vetor aceleração do colar .
a) o módulo do vetor velocidade do colar
b) o módulo do vetor aceleração do colar
As informações dadas pelo enunciado são:
onde
está em segundos.
Devemos usar essas expressões e suas derivadas temporais e avaliar tudo em .
Devemos usar essas expressões e suas derivadas temporais e avaliar tudo em
Passo 2
No plano polar (posição descrita por
e
) a posição do ponto é dada por
, onde
é o versor radial. Para obter velocidade e aceleração precisamos lembrar como mudam os versores com o tempo:
Derivando
obtemos a velocidade
Aqui
é a velocidade radial (variação de distância ao longo da barra) e
é a componente tangencial (velocidade devido à rotação). O módulo da velocidade é
Derivando novamente, a aceleração em coordenadas polares tem as componentes
e o módulo da aceleração é
Explicação curta dos termos:
-
é a aceleração radial direta; -
é a aceleração centrípeta (aponta para o centro quando ); -
é a aceleração tangencial pura por variação angular; -
é o termo de correlação (efeito Coriolis em coordenadas polares) que surge porque o referencial radial se move.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
simbolicamente:
Passo 4
Agora avaliamos as quantidades acima em
.
Calculemos
,
,
,
e
:
(obs.: o sinal negativo indica que, segundo a função dada, o ponto estaria do “outro lado” do polo; matematicamente seguimos normalmente)
Passo 5
Cálculo do módulo da velocidade
em
.
Usamos a fórmula
Substituindo os valores em
:
Somando e extraindo raiz:
Passo 6
Cálculo do módulo da aceleração
em
.
Primeiro achamos as componentes
e
usando
Substituindo os valores em
:
Calcule
:
Calcule
:
Agora o módulo: